משפט בליכפלדט

משפט בליכפלדט הוא משפט מתמטי בגיאומטריה של מספרים, הקובע שבהינתן קבוצה חסומה בעלת שטח $A$ במישור האוקלידי, ניתן להזיזה כך שהיא תכלול בתוכה לפחות $\lceil A\rceil$ נקודות סריג. באופן שקול, הקבוצה מכילה לפחות $\lceil A\rceil$ נקודות אשר הקואורדינטות שלהן שונות זו מזו בוקטור שלם. המשפט תקף גם לסריגים לא ריבועיים ובממד גבוה יותר, וניתן לפרש אותו כגרסה רציפה של עקרון שובך היונים. הוא נקרא על שם המתמטיקאי הדני-אמריקאי הנס פרדריק בליכפלדט, אשר פירסם אותו ב-1914. מקורות מסוימים מכנים את המשפט עקרון בליכפלדט או למת בליכפלדט.

משפט בליכפלדט, בניסוח שטוען שכל קבוצה בעלת שטח $A$ (כאן אליפסה עם שטח $\pi$) מכילה לפחות $\lceil A\rceil$ (כאן, $\lceil \pi \rceil =4$ נקודות) אשר כולן סוטות זו מזו בוקטור שלם. המשפט מוכח על ידי גזירת כל הריבועים של הסריג והנחתם על ריבוע יחידה יחיד (תוך הזזתם בוקטור שלם), מציאת נקודה בריבוע היחידה הזה הנכללת במספר החתיכות המבוקש, ואז שימוש בקדם-תמונות של הנקודה הזו כנקודות המבוקשות.

ניסוח והוכחה

המשפט ניתן לניסוח בצורה הפשוטה ביותר בעבור קבוצת נקודות במישור האוקלידי. בעבור גרסה זו של המשפט, תהי $S$ קבוצה מדידה כלשהי, ויהי $A$ שטחה, אז נעגל את המספר הזה כלפי מעלה אל הערך השלם הקרוב ביותר $n=\lceil A\rceil$ (פונקציית התקרה). משפט בליכפלדט קובע ש-$S$ ניתנת להזזה כך שהעותק המוזז שלה מכיל לפחות $n$ נקודות עם קואורדינטות שלמות.

הרעיון הבסיסי של ההוכחה הוא לחתוך את $S$ לחתיכות על פי הריבועים של הסריג, ואז להזיז את כל אחת מהחתיכות הללו בוקטור שלם כך שהיא תימצא בתוך ריבוע היחידה אשר ראשית הצירים היא הפינה הימנית התחתונה שלו. ההזזה הזו עשויה לגרום לנקודות מסוימות להיות מכוסות יותר מפעם אחת, אך עם מחשבים את סכום השטחים של האיזורים השונים נספרים תוך שקלול הריבוי שלהם, אז השטח הכולל של הקבוצה נשאר ללא שינוי, ושווה ל-$A$. כדי להוכיח את המשפט, מספיק להוכיח שיש נקודה עם ריבוי $n$. לשם כך, נניח בשלילה שכל נקודות ריבוע היחידה הן בעלות ריבוי של לכל היותר $n-1$. אם זה כך, פירוש הדבר הוא ששטח הקבוצה הוא לכל היותר $n-1$, פחות מ-$A$. לפיכך, נקודה כלשהי $p$ בריבוע היחידה חייבת להיות מכוסה בריבוי של לפחות $n$. הזזה שתיקח את $p$ לראשית תיקח גם את $n$ הנקודות של $S$ שכיסו את $p$ לנקודות שלמות (נקודות סריג), וזה מה שנדרש.

באופן כללי יותר, המשפט תקף לקבוצות $d$-ממדיות $S$, עם נפח $d$ ממדי $A$, ולסריג $d$-ממדי שרירותי $\Lambda$. בדיוק כשם שסריג היחידה הריבועי מחלק את המישור לריבועי יחידה, סריג שרירותי מחלק את המרחב לתחומים יסודיים (הנקראים מקבילונים יסודיים) עם התכונה שכל אחד מהתחומים האלו ניתן להזזה אל כל אחד מהאחרים על ידי חיבור של וקטור שלם. אם $L$ הוא הנפח ה-$d$-ממדי של המקבילון היסודי, אז משפט בליכפלדט קובע ש-$S$ ניתנת להזזה כך שהיא תכלול לפחות $\lceil A/L\rceil$ נקודות של $\Lambda$.

יישומים

למת מינקובסקי

למת מינקובסקי, שהוכח מוקדם יותר בהשוואה למשפט בליכפלדט (על ידי הרמן מינקובסקי), קובע שכל קבוצה קמורה במישור בעלת סימטריה ביחס לראשית, עם שטח גדול מארבע (או קבוצה קומפקטית סימטרית עם שטח שווה בדיוק לארבע) מכילה נקודת סריג שונה מאפס. באופן כללי יותר, קבוצה בעלת סימטריה מרכזית ביחס לראשית ובעלת נפח גדול מ-$2^{d}L$, מכילה נקודת סריג שונה מאפס.

אף על פי שהוכחתו המקורית של מינקובסקי, בעזרת משפט בליכפלדט ניתן לתת הוכחה קלה ללמת מינקובסקי. תהי $X$ כל קבוצה קמורה בעלת סימטריה מרכזית עם נפח גדול מ-$2^{d}L$. נשנה את קנה המידה של הצורה בפקטור שניים בכל הכיוונים כדי לקבל קבוצה שנסמנה ${\tfrac {1}{2}}X$ שהיא בעלת נפח גדול מ-$L$. לפי משפט בליכפלדט, ${\tfrac {1}{2}}X$ מכילה לפחות שתי נקודות $p$ ו-$q$ אשר הפרש הקואורדינטות שלהן שייך לסריג (כלומר, הוא וקטור שלם). אם נהפוך על פניו את טיעון הכיווץ, אז $2p$ ו-$2q$ שייכים ל-$X$. מהסימטריה המרכזית נובע ש-$-2q$ שייך גם ל-$X$, ומקמירות הקבוצה $X$ נובע שכל מיתר המחבר שתי נקודות בקבוצה מוכל בה במלואו. כיוון שכך, אמצע המיתר המחבר את $2p$ עם $-2q$ משתייך ל-$X$. אבל אמצע מיתר זה הוא הנקודה $-2q+{\frac {1}{2}}(2p-(-2q))=p-q$, ועל פי הגדרת $p$ ו-$q$ (שקיומן נובע ממשפט בליכפלדט), זוהי נקודת סריג.

ראו גם

• משפט מינקובסקי
• משפט פיק