משפט בליכפלדט – הבדלי גרסאות

נוספו 20 בתים ,  לפני חודשיים
[[משפט מינקובסקי|למת מינקובסקי]], שהוכחה מוקדם יותר בהשוואה למשפט בליכפלדט (על ידי [[הרמן מינקובסקי]]), קובעת שכל קבוצה קמורה במישור בעלת סימטריה ביחס לראשית, עם שטח גדול מארבע (או קבוצה קומפקטית סימטרית עם שטח שווה בדיוק לארבע) מכילה נקודת סריג שונה מאפס. באופן כללי יותר, קבוצה בעלת סימטריה מרכזית ביחס לראשית ובעלת נפח גדול מ-<math>2^d L</math>, מכילה נקודת סריג שונה מאפס.
 
אף על פי שהוכחתו המקורית של מינקובסקי הייתה שונה, בעזרת משפט בליכפלדט ניתן לתת הוכחה קלה ללמת מינקובסקי. תהי <math>X</math> כל קבוצה קמורה בעלת סימטריה מרכזית עם נפח גדול מ-<math>2^d L</math>. נשנה את קנה המידה של הצורה בפקטור שניים בכל הכיוונים כדי לקבל קבוצה שנסמנה <math>\tfrac{1}{2}X</math> שהיא בעלת נפח גדול מ-<math>L</math>. לפי משפט בליכפלדט, <math>\tfrac{1}{2}X</math> מכילה לפחות שתי נקודות <math>p</math> ו-<math>q</math> אשר הפרש הקואורדינטות שלהן שייך לסריג (כלומר, הוא וקטור שלם). אם נהפוך על פניו את טיעון הכיווץ, אז <math>2p</math> ו-<math>2q</math> שייכים ל-<math>X</math>. מהסימטריה המרכזית נובע ש-<math>-2q</math> שייך גם ל-<math>X</math>, ומקמירות הקבוצה <math>X</math> נובע שכל מיתר המחבר שתי נקודות בקבוצה מוכל בה במלואו. כיוון שכך, אמצע המיתר המחבר את <math>2p</math> עם <math>-2q</math> משתייך ל-<math>X</math>. אבל אמצע מיתר זה הוא הנקודה <math>-2q + \frac{1}{2}(2p-(-2q))=p-q</math>, ועל פי הגדרת <math>p</math> ו-<math>q</math> (שקיומן נובע ממשפט בליכפלדט), זוהי נקודת סריג.
 
== ראו גם ==