משפט בליכפלדט – הבדלי גרסאות

נוספו 3,047 בתים ,  לפני 6 חודשים
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד עריכה מאפליקציית אנדרואיד
 
אף על פי שהוכחתו המקורית של מינקובסקי הייתה שונה, בעזרת משפט בליכפלדט ניתן לתת הוכחה קלה ללמת מינקובסקי. תהי <math>X</math> כל קבוצה קמורה בעלת סימטריה מרכזית עם נפח גדול מ-<math>2^d L</math>. נשנה את קנה המידה של הצורה בפקטור שניים בכל הכיוונים כדי לקבל קבוצה שנסמנה <math>\tfrac{1}{2}X</math> שהיא בעלת נפח גדול מ-<math>L</math>. לפי משפט בליכפלדט, <math>\tfrac{1}{2}X</math> מכילה לפחות שתי נקודות <math>p</math> ו-<math>q</math> אשר הפרש הקואורדינטות שלהן שייך לסריג (כלומר, הוא וקטור שלם). אם נהפוך על פניו את טיעון הכיווץ, אז <math>2p</math> ו-<math>2q</math> שייכים ל-<math>X</math>. מהסימטריה המרכזית נובע ש-<math>-2q</math> שייך גם ל-<math>X</math>, ומקמירות הקבוצה <math>X</math> נובע שכל מיתר המחבר שתי נקודות בקבוצה מוכל בה במלואו. כיוון שכך, אמצע המיתר המחבר את <math>2p</math> עם <math>-2q</math> משתייך ל-<math>X</math>. אבל אמצע מיתר זה הוא הנקודה <math>-2q + \frac{1}{2}(2p-(-2q))=p-q</math>, ועל פי הגדרת <math>p</math> ו-<math>q</math> (שקיומן נובע ממשפט בליכפלדט), זוהי נקודת סריג.
 
=== יישומים אחרים ===
יישומים רבים של משפט בליכפלדט, כגון השימוש בו להוכחת למת מינקובסקי, חותרים למציאת נקודת סריג שונה מאפס בעבור קבוצה גדולה מספיק, אך כזאת שאינה קמורה. בהוכחת למת מינקובסקי, קשר המפתח בין הקבוצות <math>X</math> ו-<math>\tfrac{1}{2}X</math> אשר גורם להוכחה כולה לעבוד הוא העובדה שכל ההפרשים בין זוגות של נקודות (כלומר ההפרשים בין הוקטורים המתאימים לנקודות) ב-<math>\tfrac{1}{2}X</math> משתייכים ל-<math>X</math>. אף על פי כן, בעבור קבוצה <math>X</math> שאינה קמורה, ייתכן מצב בו ההפרש בין זוג נקודות של <math>\tfrac{1}{2}X</math> אינו שייך <math>X</math>, מה שהופך את הטכניקה של הוכחת למת מינקובסקי ללא שמישה. ניתן במקום זאת למצוא את תת הקבוצה הקמורה והסימטרית ביחס לראשית הגדולה ביותר <math>K\subset X</math>, ואז להפעיל את בלמת מינקובסקי לגבי <math>K</math>, או באופן שקול להשתמש במשפט בליכפלדט לגבי <math>\tfrac{1}{2}K</math>. אף על פי כן, במקרים רבים לקבוצה לא קמורה <math>X</math> יש תת-קבוצה <math>Y\subset X</math> שהיא גדולה יותר מ-<math>\tfrac{1}{2}K</math>, אשר כל ההפרשים בין זוגות נקודות שלה שייכים ל-<math>X</math>. כאשר זה המקרה, גודלה הרב יותר של <math>Y</math> בהשוואה ל-<math>\tfrac{1}{2}K</math> מוביל לחסמים טובים יותר לגבי השאלה כמה גדולה צריכה להיות הקבוצה <math>X</math> כדי להבטיח שהיא תכיל נקודת סריג.
 
בעבור [[תחום כוכבי]] סימטרי ביחס לראשית, ניתן להיעזר ב[[חשבון הוריאציות]], כדי למצוא את הקבוצה הגדולה ביותר <math>X'</math> אשר כל ההפרשים בין נקודות שלה שייכים ל-<math>X</math>. יישום מעניינים אחד של הטכניקות הללו הוא לבעיה של [[קירוב דיופנטי|קירובים דיופנטיים]] סימולטניים, שנוגעת לשאלה איך לקרב קבוצה של מספרים אי-רציונליים על ידי מספרים רציונליים שלכולם יש מכנה זהה.
 
== הכללות ==
משפטים אנלוגיים למשפט בליכפלדט הוכחו עבור מבנים גאומטריים אחרים מסריגים, ומראים שתחומים גדולים מספיק מכילים נקודות מהמבנים גם במקרים אלו. אלו כוללים משפטים עבור [[חבורה פוקסית|חבורות פוקסיות]], ועבור [[ריצוף של המישור|ריצופים ארכימדיים]].
 
== ראו גם ==