משוואת המילטון-יעקובי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ריווח בין מילים צמודות |
מ קישורים פנימיים |
||
שורה 1:
ב[[מכניקה אנליטית]], '''משוואת המילטון-יעקובי''' היא ניסוח חלופי של ה[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]]. המשוואה שקולה לניסוחים אחרים כגון [[חוקי התנועה של ניוטון]], ה[[מכניקה לגראנז'
משוואת המילטון־יעקובי שימושית במיוחד במציאת [[חוק שימור|גדלים נשמרים]] במערכות בהן מציאת הפתרון המלא של המערכת איננה אפשרית.
שורה 35:
<math>\frac{d S(\mathbf{q},\boldsymbol{\alpha},t)}{dt} = \frac{\partial S}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial S}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} \dot{\alpha}_i =\frac{\partial S}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial S}{\partial q_i} \dot{q}_i = -H + \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i = L </math>
כלומר מתקיים <math>S(\mathbf{q};\boldsymbol{\alpha};t) = \int L\ dt + c</math> כאשר <math>L</math> הוא ה[[לגראנז'יאן]]. משוואה זו מזכירה את הגדרת ה[[פעולה (פיזיקה)|פעולה]] של המערכת <math>S_{action}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_0}^{t_1} L(\mathbf{q}(t);\dot\mathbf{q}(t);t)\ dt</math> המשמשת ב[[עקרון המילטון|עקרון הפעולה המינימלית]] כדי לפתח את [[משוואת אוילר-לגראנז'|משוואות אוילר־לגראנז']]. על אף שהפונקציה המנהלת והפעולה מזכירות אחת את השנייה, הן אובייקטים מתמטיים שונים - הפונקציה המנהלת היא פונקציה בעלת תחום במרחב הפאזה והזמן, לעומתה הפעולה היא פונקציונל בעלת תחום במרחב המסלולים הפיזיקליים במרחב הקונפיגורציות.
הקשר בין הפונקציה המנהלת לפעולה נובע מכך שאם נסתכל במערכת, שהתחילה בזמן <math>t=t_0</math> בנקודה במרחב הקונפיגורציות <math>\mathbf{q}=\mathbf{q}_0</math> והמקיימת <math>\dot\mathbf{q}(t_0)= \mathbf{v}_0</math> המסלול <math>\mathbf{q}(t) </math> המייצר נקודת אקסטרימום לפעולה נקבע באופן יחיד מתנאי ההתחלה. בנוסף, אם הפרש הזמנים בין שתי נקודות קטן מספיק, קיים רק מתנאי התחלה אחד (ולפיכך רק מסלול אחד) שיכול להביא את המערכת מהנקודה <math>\mathbf{q}(t_0) = \mathbf{q_0}</math> לנקודה <math>\mathbf{q}(t) = \mathbf{q}</math> כך שהפעולה תקבל ערך אקסטרימום. לפיכך, בהינתן נקודת התחלה במרחב הקונפיגורציות, ניתן להגדיר פונקציה של הקוארדינטות בסיום המסלול <math>\mathbf{q}</math> כך ש-<math>S(\mathbf{q},t;\mathbf{q_0},t_0) = S_{action}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_0}^{t_1} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\ dt</math>, כאשר המסלול הוא המסלול היחיד בו הפעולה מקבלת ערך אקסטרימום. הפונקציה הזו מקיימת את משוואת המילטון-יעקובי, והיא למעשה הפונקציה המנהלת של המילטון. בפיתוח זה, התנעים הקנוניים <math>\boldsymbol{\alpha}</math> שהפונקציה המנהלת תלויה בהן מופיעים כקבועי אינטגרציה של פתרון משוואת המילטון-יעקובי. הקואורדינטות הראשוניות והסופיות <math>\mathbf{q}_0,\mathbf{q}</math> קובעות את המהירויות הראשוניות ובאמצעותן את הערכים של <math>\boldsymbol{\alpha}</math>.
| |||