משוואה דיפרנציאלית ליניארית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 54:
===שיטת ד'אלמבר להורדת סדר המשוואה===
חלק ניכר מן התאוריה הבסיסית של משוואות דיפרנציאליות נשען על האנלוגיה בין משוואות דיפרנציאליות לינאריות ל[[פולינום|משוואות פולינומיות]]. בין היתר, כאשר ידוע שורש אחד <math>\ \alpha</math> של משוואה פולינומית ממעלה ''n'', אז ניתן לפרק לגורמים את הפולינום באמצעותו (כלומר, לחלק את הפולינום בגורם לינארי <math>x-\alpha</math>, המערב את השורש הידוע) ולקבל פולינום חדש ממעלה ''n-1''. באופן דומה, כאשר ידוע פתרון אחד למשוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית כללית, ניתן להוריד בעזרתו את סדר המשוואה ב-1. יותר מכך, אם ידועים ''k'' פתרונות בלתי תלויים למשוואה, אז ניתן להוריד באמצעותם את סדר המשוואה עד ל-''n-k''.
נתונה משוואה ליניארית הומוגנית כללית (כלומר, המקדמים הם פונקציות של <math>\ x</math> ולא בהכרח קבועים). נניח כי ידוע לנו פתרון לא טריוויאלי אחד של המשוואה, ואנו רוצים למצוא פתרון נוסף, בלתי תלוי בו. הגיוני לחפש פתרון שיהיה דומה בצורתו לפתרון הקיים, וההבדל ביניהם מתבטא בכפל בפונקציה לא ידועה כלשהי. לכן נסמן <math>\ y_2(x)=y_1(x)v(x)</math> כאשר <math>\ v(x)</math> היא פונקציה בלתי ידועה ו-<math>\ y_1</math> הוא הפתרון שידוע לנו. כעת נציב את הפתרון החדש למשוואה ונחלץ את <math>\ v(x)</math>. אם נצליח, קיבלנו פתרון נוסף, <math>\ y_1(x)v(x)</math>.▼
▲כאשר נתונה משוואה ליניארית הומוגנית כללית (כלומר, המקדמים הם פונקציות של <math>\ x</math> ולא בהכרח קבועים)
נדגים את התהליך עבור משוואה ליניארית ממעלה שנייה: <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=0</math>. נניח שנתון פתרון לא טריוויאלי <math>\ y_1</math> ואנו מנחשים פתרון <math>\ y_2=y_1\cdot v</math>. נחשב את הנגזרת הראשונה והשנייה של הפתרון:
| |||