משפט קושי (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) מ ←הוכחה: עיצוב |
מ הוספת קישור למחלקת שקילות |
||
שורה 22:
מכיוון שלכל <math>g_0,\dots,g_{p-2}</math> יש השלמה יחידה לווקטור ב-<math>A</math>, גודל הקבוצה הוא <math>|A|=|G|^{p-1}</math>, המתחלק ב-<math>p</math>. אנו רוצים להוכיח קיום של איבר בקבוצה <math>A</math> מהצורה <math>(g,g,...,g)</math> כאשר <math>g\ne e</math>. על ידי הצמדה ב-<math>g_{p-1}</math>, קל לראות ש <math>g_0g_1...g_{p-1}=e</math> [[אם ורק אם]] <math>g_{p-1}g_0g_1...g_{p-2}=e</math>. לכן, נוח לחשוב על כל וקטור כמעגל של מספרים, המסודרים כמו על חוגה של טלפון ישן, ולחלק את A ל[[יחס שקילות|מחלקות שקילות]], כך ששני איברים ייקראו שקולים אם הם סיבוב אחד של השני.
ה"עוקץ" בהוכחה נעוץ בכך שאורך כל וקטור <math>(g_0,g_1,...,g_{p-1})</math> הוא ראשוני. לכן, גודל כל [[מחלקת שקילות]] חייב להיות <math>p</math> או 1. ניתן להבין זאת מכך שאם וקטור שווה לסיבוב של <math>n</math> צעדים של עצמו, אז הוא בהכרח שווה גם לסיבוב של <math>2n</math> צעדים, <math>3n</math> צעדים, וכך הלאה. אך מכיוון ש-<math>p</math> ראשוני, ניתן להגיע לסיבוב בכל מספר של שלבים על ידי סיבוב חוזר ב-<math>n</math> צעדים. זאת מכיוון שלכל <math>m<p</math> קיים <math>a\in\mathbb{Z}</math> כך ש-<math>a=m \ (\mbox{mod } p)</math> (טענה זו שקולה לטענה שכל איבר ב[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] <math>\mathbb{Z}_p</math> יוצר אותה). לכן, אם קיים סיבוב של הווקטור שבו הוא חוזר לעצמו, אז בכל סיבוב הוא יחזור לעצמו, והוא מהצורה <math>(g,g,...,g)</math>
.
| |||