שדה סגור אלגברית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
Goldberguy (שיחה | תרומות) שינוי תקציר הערך כך שהוא יהיה לפי ההגדרה הנפוצה יותר |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math> הוא '''סגור אלגברית''' אם לכל [[פולינום]] לא קבוע עם מקדמים מ-<math>F</math> קיים [[שורש_(של_פונקציה)|שורש]] ב-<math>F</math>.
== דוגמאות ==▼
לפי [[המשפט היסודי של האלגברה]], [[שדה המספרים המרוכבים]] סגור אלגברית. זהו הסגור האלגברי של [[שדה המספרים הממשיים]]. הסגור האלגברי של [[שדה המספרים הרציונליים]] (ולכן של כל [[שדה מספרים]] אחר) נקרא [[שדה המספרים האלגבריים]]. ▼
הסגור האלגברי של [[שדה סופי]] מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] <math>p</math> הוא האיחוד של כל השדות הסופיים מאותו מאפיין. לשדה המתקבל קוראים לפעמים <math>GF(p^{\infty})</math>.▼
== הגדרות שקולות ==
שורה 5 ⟵ 11:
שדה <math>F</math> הוא סגור אלגברית אם ורק אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות:
* אין לשדה [[הרחבה של שדות|הרחבה]] מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי.
* אין לשדה [[הרחבה אלגברית]] [[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאליות]]
* לכל [[פולינום]] מעל השדה (שאינו קבוע), יש [[שורש של פולינום|שורשים]] בשדה.
* כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 מעל השדה הוא פריק.
* כל פולינום שמקדמיו בשדה <math>F</math> מתפצל שם לגורמים ליניאריים.
▲== דוגמאות ==
▲לפי [[המשפט היסודי של האלגברה]], [[שדה המספרים המרוכבים]] סגור אלגברית. זהו הסגור האלגברי של [[שדה המספרים הממשיים]]. הסגור האלגברי של [[שדה המספרים הרציונליים]] (ולכן של כל [[שדה מספרים]] אחר) נקרא [[שדה המספרים האלגבריים]].
▲הסגור האלגברי של [[שדה סופי]] מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] <math>p</math> הוא האיחוד של כל השדות הסופיים מאותו מאפיין. לשדה המתקבל קוראים לפעמים <math>GF(p^{\infty})</math>.
== חשיבות גאומטרית ==
| |||