הרחבה נורמלית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
החלפות (, ) |
||
שורה 12:
# לכל [[אוטומורפיזם]] <math>\sigma</math> ב[[חבורת גלואה האבסולוטית]] -<math>\operatorname{Gal}(\bar{F}/F)</math>, מתקיים <math>\sigma (K) = K</math>.
# לכל [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] <math>\sigma</math> של ''<math>K</math>'' ב-<math>\bar{F}</math> מעל <math>F</math>, מתקיים <math>\sigma (K) = K</math>.
# מספר האיברים
# חבורת גלואה האבסולוטית של ''<math>K</math>'' [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]] בחבורת גלואה האבסולוטית של <math>F</math>.
== תכונות של הרחבות נורמליות ==
הרחבת שדות היא [[הרחבת גלואה]] אם ורק אם היא נורמלית וספרבילית. לכן מעל שדות ממאפיין אפס, כל הרחבה נורמלית היא הרחבת גלואה, והדבר מאפשר להפעיל שם את [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] ביתר קלות.
אם <math>L</math> הרחבה נורמלית של <math>F</math>, אז <math>L</math> נורמלית מעל כל שדה ביניים.
שורה 28:
# כל הרחבה ריבועית (כמו <math> \mathbb{Q} [\sqrt{2} ] / \mathbb{Q}</math>) היא נורמלית.
# ההרחבה <math>\mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2}] / \mathbb{Q}</math> אינה נורמלית, שכן מתוך שלושת השורשים של הפולינום האי-פריק <math>x^3 - 2</math> רק השורש ה[[מספר ממשי|ממשי]] <math>\sqrt[3]{2}</math> נמצא בשדה ההרחבה ואילו שני השורשים הנותרים <math>\omega \sqrt[3]{2}
# עבור p [[מספר ראשוני]], ההרחבה <math> \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \zeta_p] / \mathbb{Q}</math> כאשר <math>\zeta_p</math> הוא [[שורש יחידה]] p-י [[איבר פרימיטיבי|פרימיטיבי]], היא הרחבה נורמלית ממעלה <math>\left[ \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \zeta_p] : \mathbb{Q} \right] = p(p-1)</math>. זהו [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של הפולינום האי-פריק <math>x^p - 2</math>.
| |||