סכום ישר – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Felagund-bot (שיחה | תרומות)
בוט - מחליף 'דוגמא' ב'דוגמה', 'הוקטור' ב'הווקטור'
שורה 16:
 
אפשר להגדיר סכום ישר גם באופן חיצוני, כאובייקט חדש. נניח ש-<math>\ V</math> ו-
<math>\ W</math> הם [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] מעל אותו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ F</math>. '''הסכום הישר''' שלהם הוא מרחב וקטורי שאותו מסמנים ב- <math>\ V\oplus W</math>; כקבוצה, המרחב החדש שווה [[מכפלה קרטזית|למכפלה הקרטזית]] <math>\ V\times W</math>, כלומר הוא מורכב מכל ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>\ (v,w)</math> (כאשר <math>\ v\in V, w\in W</math>). החיבור והכפל בסקלר מוגדרים לפי רכיבים: <math>\ (v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)</math>, ו- <math>\ \alpha(v,w)=(\alpha v,\alpha w)</math>. התוצאה היא מרחב וקטורי ש[[ממד (אלגברה לינארית)|ממדו]] הוא סכום הממדים של <math>\ V</math> ושל <math>\ W</math> (זה המקור לסימון של הסכום הישר בעזרת <math>\ \oplus</math>).
 
אפשר לזהות (עד כדי [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]]) את <math>\ V</math> עם תת-המרחב <math>\ V\cong V\oplus 0=\{(v,0)\}</math> ואת <math>\ W</math> עם תת-המרחב <math>\ W\cong 0\oplus W=\{(0,w)\}</math>; כך הסכום הישר (שהוא בניה 'חיצונית', חדשה) ניתן לתאור בתור סכום ישר פנימי של תת-מרחבים וקטוריים: <math>\ V\oplus W = (V\oplus 0)\oplus(0\oplus W)</math>.