משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

אבריהן -> איבריהן (לפי בקשה)
(אבריהן -> איבריהן (לפי בקשה))
 
אנו רוצים להוכיח כי <math>\lim_{n \to\infty} \operatorname{diam}(A_n) = 0</math>. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה <math>A</math> מתקיים <math>\operatorname{diam}(A) = \operatorname{diam}(\bar{A})</math>. ברור כי <math>\operatorname{diam}(A) \leq \operatorname{diam}(\bar{A})</math> (כי <math>\bar{A}</math> מכילה את <math>A</math>).
 
יהיו <math>a,b \in \bar{A}</math>, אז קיימות סדרות <math>\{a_n\},\{b_n\}</math> שכל אבריהןאיבריהן שייכים לקבוצה <math>A</math> כך ש-<math>a_n \to a, b_n \to b</math> זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל-<math>A</math>, מתקיים <math>d(a_n,b_n) \leq \operatorname{diam}(A)</math> לכל <math>n</math>. לכן נקבל <math>d(a,b) \leq \operatorname{diam}(A)</math>, וזאת לכל <math>a,b \in \bar{A}</math>, כלומר <math>\operatorname{diam}(\bar{A}) \leq \operatorname{diam}(A)</math>, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון <math>\operatorname{diam}(A) = \operatorname{diam}(\bar{A})</math> המבוקש.
 
כעת, מכיוון ש-<math>x_n</math> סדרת קושי, הרי שלכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>N</math> כך שלכל <math>m,n > N</math> מתקיים <math>d(x_n,x_m) < \frac\epsilon2</math>. לכן <math>\operatorname{diam}(\{x_k|k\geq N\}) \le \frac\epsilon2</math>, ולכן <math>\operatorname{diam}(A_n) = \operatorname{diam}(\overline{\{x_k \mid k \geq N\}}) \le \frac\epsilon2<\epsilon</math>, וקיבלנו <math>\lim_{n \to \infty} \operatorname{diam}(A_n) = 0</math>.