חבורה אבלית חופשית – הבדלי גרסאות

 

הכוונה כשאומרים שהקבוצה <math>\ S=\{e_1,e_2,e_3,e_4,...\}</math> היא '''בסיס''' לחבורה האבלית <math>\ G</math> היא שאת כל האיברים ב-<math>\ G</math> אפשר לכתוב בדרך אחת ויחידה כצירוף לינארי של איברים ב-<math>\ S</math> מעל [[מספר שלם|המספרים השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math>. ז"א שלכל איבר יש יצוג יחיד מהצורה <math>\ g = n_1 e_1 + n_2 e_2 + n_3 e_3... \in G</math> כאשר <math>n_i \in \mathbb{Z}</math>. נסמן את עובדת היותו של <math>\ S</math> בסיס על ידי <math>\ G = \{(S)\}</math>.

 

כדאי לשים לב שחבורה אבלית חופשית היא '''לא''' [[חבורה חופשית]] שהיא גם [[חילופיות|אבלית]]. חבורה חופשית יכולה להיות אבלית, אבל זה לא הופך אותה להיות חבורה אבלית חופשית. חבורה אבלית חופשית היא תמיד חבורה אבלית, אבל היא יכולה להיות או שלא להיות חבורה חופשית.

 

דוגמא, אם ניקח בסיס בעל שני אלמנטים <math>\ S=\{e_1,e_2\}</math> אז איברי החבורה שנוצרת ממנו תהיינה <math>g_{n_1,n_2} = n_1e_1 + n_2 e_2</math>. אפשר בקלות לראות שמדובר בחבורה [[איזומורפיזם|איזומורפית]] ל-<math>\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math>.

 

 

[[en:Free abelian group]]