הבדלים בין גרסאות בדף "רציפות (פילוסופיה)"

מ
בוט החלפות: פיזיק; שנייה$1; הייתה ; $1מאוד ; גאומטרי; דייוויד; $1ייתכן;
(תקלדה)
מ (בוט החלפות: פיזיק; שנייה$1; הייתה ; $1מאוד ; גאומטרי; דייוויד; $1ייתכן;)
[[האסכולה הפיתגוראית]] פיתחה תורה שלמה סביב [[מספר]]ים במאה החמישית לפני הספירה. הפיתגוראים האמינו כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום [[מספרים טבעיים]] (...1,2,3), וב[[שבר (מתמטיקה)|שברים]] (מנה של שני מספרים טבעיים). הם נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך ה[[יתר]] של [[משולש ישר זווית]] שאורך כל אחד מניצביו הוא 1. אורך היתר במשולש זה הוא 2√. מספר זה אינו טבעי ואף אינו רציונלי (אינו ניתן להצגה כשבר). הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום [[מספר אירציונלי|מספרים אירציונליים]]. כיום אנו יודעים ש[[הישר הממשי]] (המכיל מספרים טבעיים, [[מספר רציונלי|רציונליים]] ו[[מספר אירציונלי|אירציונליים]]), הוא התגלמותה של הרציפות.
 
הפילוסוף [[זנון מאלאה|זנון]] הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו היתההייתה להוכיח את הטענה של רבו, [[פרמנידס]], כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות [[הפרדוקסים של זנון|פרדוקסים]] כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולאמר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).
 
טענתו של זנון כנגד הרציפות הייתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאוד קטנים. השניההשנייה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום: כיצד יתכןייתכן שאוסף נקודות חסרות גודל יוצר קו בעל גודל? כיצד יתכןייתכן שיש מספרים שעצם הגדרתם היא תהליך אינסופי?
 
למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח [[ארכימדס]] חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטח ה[[עיגול]]. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. ארכימדס הניח, אם כך, שניתן לעבוד עם המושג "קטן עד אינסוף", אולם טרם היו בידיו הכלים המתמטיים להגדיר זאת.
בתקופה זו עדיין היה קשר חזק יחסית בין המתמטיקה לפילוסופיה. ניוטון, ובעיקר לייבניץ, התייחסו בכתביהם למושג הרציפות האינטואיטיבי. לייבניץ ניסה להסביר מדוע לדעתו קיימת רציפות בטבע, כפי שהיא קיימת במתמטיקה. הפילוסוף [[ג'ורג' ברקלי]] ביקר את שיטותיהם של ניוטון ולייבניץ:
{{ציטוט|תוכן="אין לכנות את הדבר מדע, כאשר אתה מגשש כסומא בארובה ומגיע אל האמת מבלי לדעת כיצד, ובאילו אמצעים... המחבר הדגול של שיטת הפלוקציות [ניוטון] חש בקושי הזה, ולפיכך הכניס בהן מידה הגונה של הפשטה ושל מטפיזיקה גיאומטריתגאומטרית... הוא השתמש בפלוקציות כדרך שמשתמשים בפיגום של בניין, שלבסוף מסולק או נפטרים ממנו..."
|מקור=תולדות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, [[האוניברסיטה הפתוחה]], 1978, עמ' 18}}
 
===רציפות בפיזיקה===
עד העת החדשה היתההייתה שאלת הרציפות ב[[פיזיקה]] שאלה תאורטית בלבד. חלק מן המדענים והפילוסופים (כמו [[דמוקריטוס]]) סברו כי ה[[טבע]] מורכב מיחידות סופיות ובדידות בשם "[[אטום|אטומים]]", וחלק סברו אחרת. שאלות אלו הפכו לנחלתה של הפיזיקה הנסיונית, עם פיתוחן של [[תאוריה|תאוריות]] חדשות במאה ה-19 ומכשירים חדשים במאה ה-20.
 
ה[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]], שפותחה על ידי [[אייזק ניוטון|ניוטון]] בסוף המאה ה-17, הכילה בתוכה כמה הנחות יסוד אודות הטבע. בין היתר, היא הניחה כי ניתן להבדיל בין [[חומר]], הנתפס בחושים, לבין [[אנרגיה]], שאיננה נתפסת בחושים. על בסיס זה ניסתה הפיזיקה הקלאסית להסביר את חוקי ה[[תנועה (פיזיקה)|תנועה]] של עצמים חומריים, כמו תנועתם של כדורי ביליארד המתנגשים זה בזה.
[[דקארט]] טען כי הטבע רציף מהסיבות הבאות:
{{ציטוט|תוכן="וכן אנו מכירים שלא יוכל להיות שקיימים מיני אטומים, שהם חלקי חומר שמטבעם אינם נחלקים... אפילו אם תדמה בנפשך קטנים בכל מידה שתרצה... נוכל לחלק במחשבה כל אחד מהם לשניים או לרבים הקטנים מהם, וכך אנו מודים שהם ניתנים לחלוקה. שהרי אין אנו יכולים לחלק דבר במחשבה אלא אם כן אנו מכירים בו שהוא ניתן לחלוקה. על כן, אם סבורים אנו שהוא אינו נחלק, דעתינו סותרת את הכרתינו. ואפילו אם נשער שרצה הבורא לעשות שיהיו בחומר חלקיקים כאלה שאינם נחלקים לקטנים מהם, עדיין אין אלו ראויים לשם בלתי נחלקים. שהרי אפילו עשאם כך, שאין ביד כל יצור נברא לחלקם, ודאי שלא יכול הבורא ליטול מיד עצמו את היכולת לחלקם, שהרי לא יוכל להיות שהוא ממעט את כוח עצמו."
|מקור=שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיסיקאליתהפיזיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 240}}
 
[[לייבניץ]] טען אף הוא כי הטבע רציף:
{{ציטוט|תוכן="חושבני שאמת היא שהחומר (ואפילו כל חלק וחלק של החומר) מחולק למספר חלקים גדול יותר משאפשר לדמות. ועל כן אומר אני לעתים קרובות שכל גוף וגוף, כל כמה שיהא קטן, הוא עולם של יצורים שאין קץ למספרם. וכך איני מאמין שיש אטומים, כלומר חלקים של חומר, קשים בתכלית הקשיות או בעלי מוצקות שאי אפשר להתגבר עליה."
|מקור=שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיסיקאליתהפיזיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 44}}
 
לעומתם, ניוטון היה זהיר יותר:
{{ציטוט|תוכן="בחלקיקים שנשארים בלא פירוד יכולה רוחינו להבחין בחלקים הקטנים מהם עוד, כפי שהוכח באורח מתימטי. אולם האם החלקים שכך הם מובחנים ועדיין אינם מחולקים יכולים על ידי כוחות הטבע להיות מחולקים למעשה ומורחקים זה מזה, אין אנו יכולים לאמר בוודאות. בכל זאת, לו היתההייתה בידינו הוכחה של ניסוי אחד בלבד, שאיזה חלקיק בלתי מחולק אמנם התחלק בשבירת גוף קשה ומוצק, היינו יכולים ללמוד בתוקף הכלל הזה שגם החלקיקים שאינם מחולקים וגם המחולקים ניתנים לחלוקה ולהפרדה בפועל עד אין סוף".
|מקור=שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיסיקאליתהפיזיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 302}}
 
==האם אנו מסוגלים לתפוס רציפות?==
[[ג'ון לוק]], כנציג מובהק של האמפיריציזם, טען כי אין ביכולתנו לתפוס רציפות:
{{ציטוט|תוכן="מכיוון שלעולם אי אפשר למחשבותינו, בשום שיעור של חומר, להגיע עד החלוקה האחרונה, נדמה שיש לנו אינסוף גם בזה... ובכל זאת איננו יכולים לקבל... על ידי החלוקה, את מושג הגוף הקטן עד אינסוף, מכיוון שמושגינו מן האינסוף הוא מושג גדל ובורח, ההולך קדימה בלי שום גבול ושם מעצור".
|מקור=שמואל סמבורסקי, המחשבה הפיסיקאליתהפיזיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 312}}
 
גם [[דייוויד יום]], כאמפיריציסט, טען כי אין ביכולתנו לתפוס רציפות:
 
לעומתם, לייבניץ טוען שאין צורך בתפיסה חושית על מנת לתפוס רציפות:
{{ציטוט|תוכן="לא אוכל לקנות לי דמות של מצולע בעל אלף צלעות, וצריך שיהיו חושיו של אדם ודמיונו דקים יותר ומאומנים יותר כדי שיבחין בדרך זו בינו ובין מצולע שיש לו צלע אחת פחות מכן. אולם דעת היצירים הגיאומטרייםהגאומטריים, ממש כדעת המספרים, אינה תלויה בדמיון, אף על פי שהדמיון מסייע לה. ומתמטיקאי יכול לדעת בדיוק את מהותו של מתושע או מעושר, מפני שהאפשרות בידו לבנותם ולבחון אותם, אף אם לא יוכל להבחין ביניהם על פי מראה עיניו...
פילאלתס - כלום אפשר להכחיש שכאשר מדברים אנו על התחלקות החומר עד אינסוף, הנה אף על פי שיש לנו מושגים ברורים על ההתחלקות, אין לנו מן החלקיקים אלא מושגים עמומים מאדמאוד ומטושטשים מאד? כי הריני שואל: אם יקח אדם גרגר אבק קטן ביותר שראה מימיו, כלום יהא לו מושג מובחן כל שהוא שבעזרתו יבחין בין חלק עשרת האלפים ובין חלק המיליון של גרגיר זה?
תיאופילוס – כאן שוב מוחלפים המושג והדמות, ופלא בעיני שמערבבים אותם במידה כזו. כי הענין אינו בכך שתהא לנו דמות של זעירות יתירה כל כך. היא בלתי אפשרית על פי המבנה הקיים של גופנו..."
|מקור=גוטפריד וילהלם לייבניץ, מסות חדשות על שכל האדם, תרגום: יוסף אור, ירושלים, תשכ"ז, עמ' 270}}
* שבתאי אונגרו: '''מבוא לתולדות המתמטיקה''', אוניברסיטה משודרת, משרד הבטחון, 1989
* בנו ארבל, '''קיצור תולדות המתמטיקה''', מופ"ת, 2005.
* [[דיוויד יוםדייווידיום]]: '''מסכת טבע האדם''', תרגום: יוסף אור, מאגנס, ירושלים, 1954
* [[ג'ון לוק]]: '''מסה על שכל האדם''', תרגום: יוסף אור, מאגנס, ירושלים, תשל"ב
* [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]]: '''השיטה החדשה''', תרגום: יוסף אור, ירושלים, תרצ"א
* גוטפריד וילהלם לייבניץ, '''מסות חדשות על שכל האדם''', תרגום: יוסף אור, ירושלים, תשכ"ז
* שמואל סמבורסקי, '''המחשבה הפיסיקאליתהפיזיקאלית בהתהוותה''', ביאליק, ירושלים, 1972
*'''תולדות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי''', [[האוניברסיטה הפתוחה]], 1978
 
271,876

עריכות