חבורה יסודית – הבדלי גרסאות

==מבוא אינטואטיבי והגדרה==

 

 

עבור ההגדרה הפורמלית, נניח כי ''X'' הוא [[מרחב טופולוגי]] וכי <math>\,x_0 \in X</math>. [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] <math>\,f:[0,1]\rightarrow X</math> תיקרא '''לולאה''' עם '''נקודת בסיס''' <math>\,x_0</math> אם מתקיים <math>\,f(0) = f(1) = x_0</math>.

בהינתן זוג מחלקות שקילות של לולאות ביחס להומוטופיה <math>\,[f], [g]</math>, נבחר נציגים <math>\,f\in [f]</math> ו- <math>\,g\in[g]</math>. נגדיר [[פעולה בינארית]] <math>\,f*g</math> להיות הלולאה שבה קודם "מטיילים" ב''f'', ולאחר מכן "מטיילים" ב''g''. באופן פורמלי, עבור <math>0 \le t \le \frac{1}{2}</math> נגדיר <math>\,(f*g)(t) = f(2t)</math> (כלומר עוברים דרך המסלול של ''f'' ב"מהירות כפולה), ועבור <math>\frac{1}{2}\le t\le 1</math> נגדיר <math>\,(f*g)(t)=g(2t-1)</math> (כלומר עוברים דרך המסלול של ''g'' ב"מהירות כפולה"). לבסוף, נגדיר <math>\,[f]*[g] = [f*g]</math>. ההגדרה תקיפה משום שניתן להראות כי אינה תלויה בבחירת הנציגים.

 

 

חבורה זו נקראת '''החבורה היסודית של ''X'' עם נקודת בסיס <math>\,x_0</math>''', והיא מסומנת ב