בעיית שטיינר – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קצרמר מתמטיקה
שכתוב
שורה 1:
'''בעיית שטיינר''' היא בעיה שהציג הגאומטרן השוויצרי [[יעקב שטיינר]] ב- [[1850]], בירחון המדעי של August Leopold Crelle. הבעיה עוסקת בפירוק של מספר n כמכפלה של n גורמים שווים, כלומר, בערך של השורש <math>\ \sqrt[n]{n}</math>. במכתבו לעיתון מציין שטיינר שהפונקציה <math>\ x^{1/x}</math> מקבלת את ערך ה[[נקודת קיצון|מקסימום]] כאשר x הוא [[℮ (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]], ושלכל מספר (חיובי) אחר c קיים בן-זוג יחיד d, שעבורו <math>\ \sqrt[c]{c}=\sqrt[d]{d}</math>.
'''בעיית שטיינר''' היא הבעיה של מציאת ערך מקסימלי לפונקציה
 
== מקורות ==
<div style="text-align: center;">
<math>f(x)=x^\frac{1}{x}</math>
</div>
 
* [http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D268049&p=220 המאמר של שטיינר]
הבעיה נקראת על שם המתמטיקאי השוויצרי [[יעקב שטיינר]].
* Jacob Steiner, Works, Vol. 2, p. 423.
 
* Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, 1965, problem 89.
המקסימום מתקבל בנקודה <math>x=e</math>, כאשר <math>e</math> הוא [[℮ (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]].
 
פתרון אפשרי לבעייה זו הוא ע"י הקביעה שהשאלה שקולה לשאלה באיזה <math>x</math> מתקבל המקסימום של הפונקציה
 
<div style="text-align: center;">
<math>g(x)=\ln f(x) = \frac{\ln x}{x}</math>
</div>
 
הנגזרת של הפונקציה <math>g</math> מחושבת כך:
 
<div style="text-align: center;">
<math>g'(x)= \frac{1-\ln x}{x^2}</math>
</div>
 
מכאן, הנגזרת של <math>g</math> היא חיובית לכל <math>0<x<e</math> ושלילית לכל <math>x>e</math>, מה שגורר את העובדה שלפונקציה <math>g</math> (ולכן גם לפונקציה <math>f</math>) יש מקסימום (גלובלי) בנקודה <math>x=e</math>.
 
{{קצרמר|מתמטיקה}}