משפט הגבול המרכזי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ביטול גרסה 34082392 של 2A0E:9CC0:23B8:6C00:B88F:1F48:1486:DE1 (שיחה) תהי סדרה
שורה 7:
== הגרסה החלשה ==
 
יהיותהי <math>X_1,X_2,\dots</math> סדרה של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] בלתי תלויים בעלי אותה [[התפלגות]], שיש לה [[תוחלת]] <math>\mu</math> ו[[שונות]] <math>\sigma^2</math>. נסמן ב- <math>\bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n</math> את הממוצע. לפי [[החוק החזק של המספרים הגדולים]], ה[[גבול_של_סדרה|גבול]] של הסדרה <math>\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}</math> הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: סדרת המשתנים המקריים <math>\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}</math> [[התכנסות בהתפלגות|מתכנסת בהתפלגות]] אל ה[[התפלגות נורמלית|התפלגות הנורמלית]] הסטנדרטית:
<math>\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z\right) = \Phi(z)</math>, כאשר <math>\Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt</math>.