אינטגרל לבג – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת קישור לתחום ההגדרה |
מ ←אינטגרל לבג של פונקציות פשוטות חיוביות: clean up, replaced: [[תחום ההגדרה ← [[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה |
||
שורה 31:
[[פונקציה פשוטה]] היא פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים, כלומר, הטווח שלה הוא [[קבוצה סופית]]. כל פונקציה פשוטה (שהמציינים שלה הן על [[קבוצה מדידה|קבוצות מדידות]]) היא [[פונקציה מדידה]].
תהי <math>f \colon X \to \mathbb{R}</math> פונקציה פשוטה, כאשר <math>X</math> הוא [[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה]] שלה. לכל ערך בטווח של הפונקציה המקורית <math>y \in \operatorname{Im}f</math> מתאימים את [[מידת לבג]] של הקבוצה <math display="inline">f^{-1}(y) \subset X</math> (קבוצת כל האיברים שערך הפונקציה <math>f</math> בהם הוא <math>y</math>). אינטגרל לבג של <math>f</math> מוגדר להיות▼
▲תהי <math>f \colon X \to \mathbb{R}</math> פונקציה פשוטה, כאשר <math>X</math> הוא [[תחום ההגדרה]] שלה. לכל ערך בטווח של הפונקציה המקורית <math>y \in \operatorname{Im}f</math> מתאימים את [[מידת לבג]] של הקבוצה <math display="inline">f^{-1}(y) \subset X</math> (קבוצת כל האיברים שערך הפונקציה <math>f</math> בהם הוא <math>y</math>). אינטגרל לבג של <math>f</math> מוגדר להיות
:<math>\ L = \int_{E} f \,\mathrm{d}m = \sum_{y \in \operatorname{Im}f}{y \cdot m \left( f^{-1}(y) \cap E \right)} </math>
כאשר <math>E</math> היא התחום עליו מתבצעת האינטגרציה, והוא מתוך תחום ההגדרה של <math>f</math>. עבור פונקציה פשוטה הטווח הוא סופי, ולכן הסכום סופי. כך, כל עוד <math>m \left( f^{-1}(y) \cap E \right) < \infty </math> ו-<math>f</math> מקבלת ערכים סופיים בלבד, הסכום יתכנס. במקרה בו <math>m \left( f^{-1}(y) \cap E \right) = \infty </math> ו-<math>y=0</math> מכפלת שניהם מוגדרת להיות אפס.
| |||