ויקיפדיה

אינטגרל רימן – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
←‏סקירה כללית: עריכה, בעברית התמונות מוצגות בצד שמאל.
מ ניסוח
שורה 1:
[[קובץ:Integral_as_region_under_curve.svg|שמאל|ממוזער|האינטגרל כשטח של אזור תחת עקומה.]]
[[קובץ:Riemann_integral_regular.gif|שמאל|ממוזער|רצף של סכומי רימן עבור חלוקות משתנות של מרווחים. המספר מעלה הוא השטח הכולל של המלבנים, שמתכנס לאינטגרל של הפונקציה.]]
[[קובץ:Riemann_integral_irregular.gif|שמאל|ממוזער|החלוקה של הקטעים אינה צריכהחייבת להיות אחידה, כפי שמוצג כאן. הקירוב תקף כל עוד רוחב של כל חלוקה שואף לאפס.]]
ב[[אנליזה ממשית]], '''אינטגרל רימן''', שנוצר על ידי [[ברנהרד רימן]], היה ההגדרה המדוקדקת הראשונה של [[אינטגרל]] כ[[פונקציה]] של [[קטע (מתמטיקה)|קטע]]. רעיון זה הוצג בפני הפקולטה ב[[אוניברסיטת גטינגן]] בשנת [[1854]], אך לא פורסם בכתב עת עד שנת [[1868]].<ref>The Riemann integral was introduced in Bernhard Riemann's paper "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). This paper was submitted to the University of Göttingen in 1854 as Riemann's ''Habilitationsschrift'' (qualification to become an instructor). It was published in 1868 in ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen'' (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, pages 87-132. (Available online [https://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87 here].) For Riemann's definition of his integral, see section 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), pages 101–103.</ref> עבור פונקציות רבות ויישומים פרקטיים, ניתן להעריך את אינטגרל רימן על ידי [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] או לבצע קירוב באמצעות [[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים|שיטות נומריות]].
 
אינטגרל רימן אינו מתאים להרבה שימושים תאורטיים. קיימת שיטה מקבילה, בעלת דיוקים טכניים שמגשרת מעל החסרונות הטכניים באינטגרציה של רימן בעזרת [[אינטגרל של רימן –סטילטג'ס]], ורובם נעלמים בשיטת [[אינטגרל לבג]], אף על פי שלאחרון אין טיפול מספק ב[[אינטגרלים לא אמיתיים]]. [[אינטגרל הנסטוק]] הוא הכללה של אינטגרל לבג שדומה יותר לאינטגרל רימן. תיאוריות כלליות יותר מאפשרות טיפול בפונקציות "משוננות" יותר או "מתנודדות מאוד" מה שאינטגרל רימן אינו מספק; אך התיאוריות נותנות ערך זהה לאינטגרל של רימן כאשר הוא קיים.▼
 
== סקירה כללית ==
תהי <math>f</math> פונקציה אי-שלילית בעלת ערך [[שדה המספרים הממשיים|ממשי]] בקטע <math>[a,b]</math>, ויהי <math>S = \left \{ (x, y) \, : \ a \leq x \leq b, 0 < y < f(x) \right \}</math> האזור מתחת לגרף הפונקציה <math>f</math> ומעל המרווח <math>[a,b]</math> (דוגמה באיור העליון). אנו מעוניינים למדוד את שטח <math>S</math>. לאחר שנמדוד את השטח, נסמנו על ידי:<math>\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x</math>.
 
: <math>S = \left \{ (x, y) \, : \ a \leq x \leq b, 0 < y < f(x) \right \}</math>
 
האזור מתחת לגרף הפונקציה <math>f</math> ומעל המרווח <math>[a,b]</math> (ראו את האיור בצד שמאל למעלה). אנו מעוניינים למדוד את שטח <math>S</math>. לאחר שנמדוד את השטח, נסמנו על ידי:
 
הרעיון הבסיסי בשיטה של רימן הוא להשתמש בקירובים פשוטים מאוד לשטח של <math>S</math> באמצעות מלבנים. ככל שמחלקים את הקטע <math>[a,b]</math> ליותר תתי-קטעים, ישנם יותר מלבנים, ובכך הקירוב מדויק יותר. כאשר מספר המלבנים שואף לאינסוף, ניתן לומר שהשטח של סכום כל המלבנים שווה לשטח <math>S</math> שמתחת לגרף.
:<math>\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x.</math>
 
נבחיןנשים לב כי <math>f</math> יכוליכולה להיות חיוביחיובית ושליליאו כאחדשלילית, ההגדרה של <math>S</math> משתנה כך שהאינטגרל תואם את ''האזור התחום'' מתחת לגרף של <math>f</math> : כלומר, האזור שמעל ציר <math>x</math> מינוספחות השטח שמתחת לציר <math>x</math>. ניתן להסתכל על האינטגרל אם כן כדרך חישוב ל"שטח עם סימן".▼
הרעיון הבסיסי השיטת של רימן הוא להשתמש בקירובים פשוטים מאוד לאזור <math>S</math> על ידי קירובים מלבניים שקטנים לפי החלוקה, אנו יכולים לומר כי "בגבול" (כאשר מספר המלבנים שאנו מודדים גדל לאינסוף) אנו מקבלים בדיוק את שטח <math>S</math> מתחת לגרף.
 
▲אינטגרל רימן אינו מתאים להרבה שימושים תאורטיים. קיימת שיטה מקבילה, [[אינטגרל רימן-סטילטג'ס]] {{אנ|Riemann–Stieltjes integral}}, היא בעלת דיוקים טכניים שמגשרתהמגשרת מעל החסרונות הטכניים באינטגרציה של רימן בעזרת [[אינטגרל של רימן –סטילטג'ס]], ורובם נעלמים בשיטת [[אינטגרל לבג]], אף על פי שלאחרון אין טיפול מספק ב[[אינטגרלים לא אמיתיים]]. [[אינטגרל הנסטוק]] הוא הכללה של אינטגרל לבג שדומה יותר לאינטגרל רימן. תיאוריות כלליות יותר מאפשרות טיפול בפונקציות "משוננות" יותר או "מתנודדות מאוד" מה שאינטגרל רימן אינו מספק; אך התיאוריות נותנות ערך זהה לאינטגרל של רימן כאשר הוא קיים.
▲נבחין כי <math>f</math> יכול להיות חיובי ושלילי כאחד, ההגדרה של <math>S</math> משתנה כך שהאינטגרל תואם את ''האזור התחום'' מתחת לגרף של <math>f</math> : כלומר, האזור שמעל ציר <math>x</math> מינוס השטח שמתחת לציר <math>x</math>. ניתן להסתכל על האינטגרל אם כן כדרך חישוב ל"שטח עם סימן".
 
== הגדרה ==
שורה 30 ⟵ 24:
 
=== סכום רימן ===
תהי <math>f</math> פונקציה ממשית על הקטע <math>[a,b]</math>. ''סכום רימן'' של <math>f</math> ביחס לחלוקה המיוצגת על <math>x_0,\dots,x_n</math> יחד עם בחירת נקודות <math>t_0,\dots,t_{n-1}</math> כאשר <math>t_i \in [x_i,x_{i+1}]</math> הוא <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books/about/Real_Analysis_and_Foundations.html?id=OI-0vu1rb7MC&pg=PA173|title=Real Analysis and Foundations|last=Krantz|first=Steven G.|publisher=CRC Press|year=1991|page=173|author-link=Steven G. Krantz}}</ref>
 
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) \left(x_{i+1}-x_i\right).</math>
שורה 38 ⟵ 32:
לפי הגדרת רימן, פונקציה <math>f</math> אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math> אם קיים <math>\ I</math>ממשי כך שלכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל חלוקה <math>P</math> של הקטע המקיימת <math>\lambda (P) \le \delta</math> כל סכום רימן <math>S</math> המתאים לאותה חלוקה מקייים <math>\mid S-I \mid<\varepsilon</math>. במידה וקיים <math>\ I</math>העומד בדרישות אלו ניתן להוכיח שהוא יחיד, וערך האינטגרל של <math>f</math> ב-<math>[a,b]</math>מוגדר להיות <math>I</math> (כלומר <math>\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x := I</math>).
 
מושגים הקשורים זה לזה הם ''סכומי דרבו התחתונים והעליונים''. אלה דומים לסכומי רימן, אך ערך הפונקציה בנקודה <math>t_i</math> מוחלף על ידי [[אינפימום וסופרמום]] (בהתאמה) של <math>f</math> בכל תת-קטע:
 
: <math>\begin{align}
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/אינטגרל_רימן"