אינטגרל רימן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←הגדרה: ניסוח |
מ הגהה |
||
שורה 7:
תהי <math>f</math> פונקציה אי-שלילית בעלת ערך [[שדה המספרים הממשיים|ממשי]] בקטע <math>[a,b]</math>, ויהי <math>S = \left \{ (x, y) \, : \ a \leq x \leq b, 0 < y < f(x) \right \}</math> האזור מתחת לגרף הפונקציה <math>f</math> ומעל המרווח <math>[a,b]</math> (דוגמה באיור העליון). אנו מעוניינים למדוד את שטח <math>S</math>. לאחר שנמדוד את השטח, נסמנו על ידי:<math>\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x</math>.
הרעיון הבסיסי בשיטה של רימן הוא להשתמש בקירובים פשוטים מאוד לשטח של <math>S</math> באמצעות מלבנים. ככל שמחלקים את הקטע <math>[a,b]</math> ליותר תתי-קטעים, ישנם יותר מלבנים, ובכך הקירוב מדויק יותר. כאשר מספר המלבנים שואף לאינסוף, ניתן לומר שהשטח של סכום כל המלבנים שווה לשטח
נשים לב כי <math>f</math> יכולה להיות חיובית או שלילית, ההגדרה של <math>S</math> משתנה כך שהאינטגרל תואם את האזור התחום מתחת לגרף של <math>f</math> : כלומר, האזור שמעל ציר <math>x</math> פחות השטח שמתחת לציר <math>x</math>. ניתן להסתכל על האינטגרל אם כן כדרך חישוב ל"שטח עם סימן".
שורה 15:
== הגדרה ==
=== חלוקה של קטע ===
חלוקה <math>P</math> של קטע
'''פרמטר החלוקה''' או '''הנורמה''' של <math>P</math> מסומן ב-<math>\lambda (P)</math> ומוגדר כאורכו של התת-קטע הארוך ביותר שלה. כלומר <math>\lambda (P) = \max \{x_{i+1}-x_i\mid 0\le i \le n-1\}</math>.
שורה 24:
כל איבר בסכום הוא מכפלת הערך של הפונקציה בנקודה נתונה עם אורך הקטע בה היא נמצאת. כתוצאה מכך, כל איבר מייצג את האזור של מלבן בעל גובה <math>f(t_i)</math> ורוחב <math>x_{i+1} - x_i</math>. סכום רימן הוא סכום של כל המלבנים.
===אינטגרביליות לפי רימן===
לפי הגדרת רימן, פונקציה <math>f</math> אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math> אם קיים <math>\ I</math>ממשי כך שלכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל חלוקה <math>P</math> של הקטע המקיימת <math>\lambda (P) \le \delta</math> כל סכום רימן <math>S</math> המתאים לאותה חלוקה מקיים <math>\mid S-I \mid<\varepsilon</math>. אם
מושגים הקשורים זה לזה הם סכומי דרבו התחתונים והעליונים. אלה דומים לסכומי רימן, אך ערך הפונקציה בנקודה <math>t_i</math> מוחלף על ידי [[אינפימום וסופרמום]] (בהתאמה) של <math>f</math> בכל תת-קטע:
| |||