תורת המספרים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אפשרות הצעות קישורים: נוספו 2 קישורים. תגיות: עריכה חזותית עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד משימה למתחיל מוצע: הוספת קישורים |
|||
שורה 1:
'''תורת המספרים''' היא ענף של ה[[מתמטיקה]] העוסק בתחום רחב של נושאים, ששורשיהם בחקר התכונות של ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]].
בעיות רבות בתורת המספרים הן קלות לניסוח אך קשות מאוד לפתרון, וענפים נכבדים במתמטיקה מודרנית פותחו תוך ניסיון לפתור בעיות מסוג זה. דוגמה ידועה היא [[המשפט האחרון של פרמה]], ובעיות שהן עדיין פתוחות כמו [[השערת גולדבך]] (כל [[מספר זוגי]] הגדול מ - [[2 (מספר)|2]], הוא סכום של שני [[מספר ראשוני|ראשוניים]]), השערת ה[[ראשוניים תאומים|ראשוניים התאומים]] (שלפיה יש [[אינסוף]] זוגות של ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2) והשערת [[מספר מרסן|מספרי מרסן הראשוניים]] (שלפיה יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים וכתוצאה מכך קיימים אינסוף [[מספר משוכלל|מספרים משוכללים]]).
==תחומים בתורת המספרים==
שורה 8:
ב'''תורת המספרים האלמנטרית''' נחקרות תכונותיהם של המספרים השלמים ללא ניצולן של טכניקות מענפי מתמטיקה אחרים. שאלות הקשורות ל[[מחלק|התחלקות]], [[האלגוריתם של אוקלידס]] למציאת [[מחלק משותף מקסימלי]], [[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק לגורמים]] [[מספר ראשוני|ראשוניים]], [[מספר משוכלל|מספרים משוכללים]] ו[[סדרה חשבונית|סדרות חשבוניות]] נמצאות בתחום זה. משפטים מרכזיים הם [[המשפט הקטן של פרמה]] ו[[משפט אוילר]] המכליל אותו, [[משפט השאריות הסיני]], ו[[משפט ההדדיות הריבועית]]. נלמדות גם [[פונקציה אריתמטית|פונקציות אריתמטיות]], כמו [[פונקציית אוילר|הפונקציה <math>\ \varphi</math>]] ([[פי]]) של [[לאונרד אוילר|אוילר]], שהן פונקציות המוגדרות על-פי תכונות מספריות.
{{עוגן|תורת המספרים האנליטית}}'''תורת המספרים האנליטית''' משתמשת בכלים של [[חשבון אינפיניטסימלי]] ו[[פונקציה מרוכבת|פונקציות מרוכבות]] כדי להתמודד עם בעיות העוסקות בתכונותיהם של המספרים השלמים. כלים אלה הם שימושיים ביותר בחקר תכונותיהם של המספרים הראשוניים: [[משפט המספרים הראשוניים]], משפט מרכזי המתאר את צפיפותם של מספרים אלה, הוכח באמצעות כלים אנליטיים, וכמוהו גם תוצאות רבות אחרות הקשורות בראשוניים (ב-[[1949]] מצאו [[פאול ארדש]] ו[[אטלה סלברג]] הוכחה 'אלמנטרית' למשפט המספרים הראשוניים; הוכחה זו אינה משתמשת בכלים אנליטיים, אבל היא נחשבת למסובכת וקשה יותר מן ההוכחה האנליטית). [[השערת רימן]] היא [[בעיה פתוחה]] חשובה שצמחה מתורת המספרים האנליטית, ובעיות פתוחות כמו [[השערת גולדבך]] נחקרות באמצעים דומים.
ענף חשוב אחר בתורת המספרים האנליטית הוא תורת ה[[קירוב דיופנטי|קירובים הדיופנטיים]], העוסקת בקירובים רציונליים למספרים אי-רציונליים ומאפשרת לחקור את הפתרונות השלמים של [[משוואה|משוואות]] כגון <math>17 + x^3 = y^2</math>.
| |||