תרבוע העיגול – הבדלי גרסאות

הפתרון של בעיית תרבוע העיגול על ידי סרגל ומחוגה מחייב בניית המספר <math>\sqrt\pi</math>, אורך הצלע של ריבוע ששטחו שווה לזה של [[מעגל היחידה]]. אם <math>\sqrt\pi</math> היה [[שדה המספרים הניתנים לבנייה|מספר הניתן לבנייה]], ממילא נובע מקונסטרוקציות סטנדרטיות של [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]] ש <math>\pi</math> יהיה גם מספר הניתן ניתן לבנייה. בשנת 1837, פייר ונצ'ל הראה שאורכים שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה צריכים להיות פתרונות של משוואות פולינומיות מסוימות עם מקדמים רציונליים. לכן, אורכים הניתנים לבנייה חייבים להיות [[מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]]. אם תרבוע העיגול היה אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה בלבד, אז <math>\pi</math> צריך להיות מספר אלגברי. רק בשנת 1882 הוכיח [[פרדיננד לינדמן|פרדיננד פון לינדמן]] את טרנסצנדנטיות של <math>\pi</math> וכך הראה את חוסר האפשרות של בנייה זו. הרעיון של לינדמן היה לשלב את הוכחת הטרנסצנדנטיות של [[E (קבוע מתמטי)|מספר של אוילר]] <math>e</math>, שהוצג על ידי [[שארל הרמיט|צ'ארלס הרמיט]] ב-1873, עם [[זהות אוילר]]<math display="block">e^{i\pi}=-1.</math>זהות זו מראה מיד כי <math>\pi</math> הוא [[מספר אי-רציונלי]], כי כוחחזקה רציונלירציונלית של מספר טרנסצנדנטי נשארנשארת טרנסצנדנטלי (לפי הגדרת טרנסצנדנטיות)טרנסצנדנטלית. לינדמן הצליח להרחיב טיעון זה, באמצעות [[משפט לינדמן-ויירשטראס]] על עצמאותאי-תלות ליניארית של חזקות אלגבריות של <math>e</math>, להראות ש <math>\pi</math> הוא טרנסצנדנטי ולכן תרבוע העיגול הוא בלתי אפשרי.