משוואה דיפרנציאלית ליניארית – הבדלי גרסאות

באופן כללי, פונקציות רבות יכולות להיות פתרון של אותה משוואה. לפונקציה מסוימת שהיא פתרון של המשוואה נקרא "פתרון פרטי" של המשוואה. עבור משוואה הומוגנית <math>\ L\left[y\right]=0</math> סכום של כל שני פתרונות הוא פתרון וכפל בסקלר של פתרון הוא פתרון. לכן אוסף הפתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית הוא [[מרחב וקטורי]] ויש לו [[בסיס (אלגברה)|בסיס]], כלומר קבוצת פונקציות <math>\ y_1,\dots,y_n</math> כך שכל פתרון של המשוואה ההומוגנית יכול להיכתב כצירוף ליניארי שלהן: <math>\ y=c_1 y_1+\dots+c_n y_n</math>. עבור בסיס של מרחב הפתרונות, נקרא לצירוף הליניארי <math>\ c_1 y_1+\dots+c_n y_n</math>, כאשר <math>\ c_1,\dots,c_n</math> הם קבועים, "פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית".

 

 

 

 

#לפתור את המשוואה ההומוגנית המתאימה לה.

#למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית.

קיימת שיטה בשם "'''[[וריאציית הפרמטר]]'''", המאפשרת למצוא בצורה שיטתית פתרון פרטי למשוואה הלא הומוגנית בהינתן הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית. עם זאת, השיטה עלולה לכלול עבודה טכנית רבה, ונדרשת בה [[אינטגרל|אינטגרציה]] שבה לא בהכרח ניתן לבטא את התוצאה בצורה מפורשת. שיטה אחרת, הנקראת "[[שיטת המקדמים הלא ידועים]]", מבוססת על ניחוש מושכל של צורת הפתרון הפרטי והשימוש בה הוא פשוט ונוח, אך היא טובה רק למקרים מסוימים.

 

 

===משוואה הומוגנית במקדמים קבועים===