מחלק אפס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הרחבת הערך על ידי משפט מעניין והוכחתו |
מ הוספת משפט נוסף הנוגע לאברי יחידה של חוגים |
||
שורה 35:
נותר להוכיח שניתן למצוא הופכי עבור <math>\ a</math> (אם נצליח למצוא עבורו, הרי שאפשר למצוא עבור כולם, כי <math>\ a</math> נבחר באופן שרירותי). מכיוון ש<math>\ 1\isin R</math> הרי שכפי שכבר ראינו, קיים <math>\ x_{i_1}</math> כך ש<math>\ ax_{i_1}=1</math>, ובכך הושלמה ההוכחה.
==משפטים הנוגעים למחלקי אפס==
===איברי יחידה של תת חוג===
====משפט====
אם <math>\ R</math> חוג, <math>\ S\subseteq R</math> תת חוג שלו, בעל איבר יחידה <math>\ 1_S\ne 0</math>. אם איבר יחידה זה אינו איבר היחידה של <math>\ R</math> (אם בגלל שאיבר היחידה של <math>\ R</math>, <math>\ 1_R</math>, שונה ממנו, ואם בגלל של<math>\ R</math> אין איבר יחידה) אז <math>\ 1_S</math> הוא מחלק אפס ב<math>\ R</math>.
====הוכחה====
אם ל<math>\ R</math> יש איבר יחידה <math>\ 1_R\ne 1_S</math> אז נשים לב שמתקיים <math>\ 1_R\cdot 1_S=1_S</math>, כי איבר היחידה של החוג כפול כל איבר אחר נותן את האיבר האחר.
כמו כן מתקיים <math>\ 1_S\cdot 1_S=1_S</math>, כי איבר היחידה של <math>\ S</math> כפול כל איבר אחר מתוך <math>\ S</math> (ובפרט הוא עצמו) נותן את האיבר האחר.
לכן קיבלנו <math>\ 1_R\cdot 1_S=1_S\cdot 1_S</math> ולאחר העברת אגפים והוצאת גורם משותף נקבל <math>\ (1_R-1_S)\cdot 1_S=0</math>. מכיוון ש<math>\ 1_R\ne 1_S</math> הרי ש<math>\ 1_R-1_S\ne 0</math> ולכן בהכרח <math>\ 1_S</math> הוא מחלק אפס.
אם ל<math>\ R</math> אין איבר יחידה, בפרט <math>\ 1_S</math> אינו איבר יחידה של החוג כולו, ולכן בלי הגבלת הכלליות קיים <math>\ x\isin R</math> כך ש<math>\ 1_S\cdot x\ne x</math>, כלומר: <math>\ 1_S\cdot x-x\ne 0</math>.
כעת נביט בביטוי <math>\ 1_S\cdot(1_S\cdot x-x)</math>. לאחר פתיחת סוגריים נקבל:
<math>\ 1_S\cdot(1_S\cdot x-x)=1_S^2\cdot x-1_S\cdot x=1_S\cdot x-1_S\cdot x=0</math>. ובגלל ש<math>\ 1_S\cdot x-x\ne 0</math> נקבל שבהכרח <math>\ 1_S</math> מחלק אפס.
[[en:zero divisor]]
[[category:אלגברה]]
| |||