משפט האן-בנך – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ האנס |
מ הגליית ההוכחה לסוף |
||
שורה 10:
# <math>\ \forall x \in L_0 \ : \ f(x) = f_0(x)</math> (כלומר: <math>\ f </math> הוא אכן הרחבה של <math>\ f_0 </math>).
# <math>\ \forall x \in L \ : \ |f(x)| \le \rho(x)</math> (כלומר: <math>\ f </math> חסום גם כן על-ידי <math>\,\rho</math>).
== הוכחת המשפט ==▼
הוכחת המשפט נעזרת ב[[הלמה של צורן|למה של צורן]]. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של <math>\,f_0</math> החסומות על ידי <math>\,\rho</math> לתת-מרחב כלשהו <math>\ L_0 \subset L_\alpha \subset L</math> עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-<math>\,E</math>). זהו [[יחס סדר|מרחב סדור]] וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי [[הלמה של צורן]], קיים [[איבר מקסימלי]] ב-<math>\,E</math> שמהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל <math>\,L</math>. ▼
עושים זאת באמצעות [[הוכחה בדרך השלילה|הוכחה על דרך השלילה]]. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-<math>\,E</math> מוגדרת על תת-מרחב <math>\ L' \subset L</math>, כאשר <math>\ L' \ne L</math>. אזי קיים <math>\ y \in L - L'</math> ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על-ידי <math>\ \rho</math>, המוגדרת על-ידי: ▼
: <math>\ \forall z \in \mbox{span}\left(L' \cup \{y \} \right)\ : \ f(z) = f(x + \lambda y) = f'(x) + \lambda y'</math> ▼
כאשר <math>\ z = x + \lambda y</math> פירוק יחיד של <math>\,z</math> כאשר <math>\ x \in L'</math> ו-<math>\,f'</math> הוא ההרחבה המקסימלית על <math>\,L'</math> (והם איברי המשפחה <math>\,E</math>). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך <math>\ f'(y) = y'</math> כך שלכל <math>\,z</math> בתחום ההגדרה יתקיים <math>\ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z) </math>. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א ([[חסם עליון]]) ושימוש בתכונותיה של [[פונקציה תת-לינארית]] אפשר להראות שקיים <math>\,y'</math> כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-<math>\,f'</math> מ-<math>\,L'</math> לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-<math>\,E</math>.▼
מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של <math>\,E</math>, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-<math>\,E</math>, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו [[סתירה]].▼
לכן, האיבר המקסימלי של <math>\,E</math> מוגדר היטב על כל <math>\,L</math> ומהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש.▼
== מסקנות ושימושים ==
שורה 37 ⟵ 25:
:# <math>\ f(z)=1</math>
:# ומתקיים ש <math>\ \| f \| = (\| z \| )^{-1}</math>
▲== הוכחת המשפט ==
▲הוכחת המשפט נעזרת ב[[הלמה של צורן|למה של צורן]]. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של <math>\,f_0</math> החסומות על ידי <math>\,\rho</math> לתת-מרחב כלשהו <math>\ L_0 \subset L_\alpha \subset L</math> עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-<math>\,E</math>). זהו [[יחס סדר|מרחב סדור]] וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי [[הלמה של צורן]], קיים [[איבר מקסימלי]] ב-<math>\,E</math> שמהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל <math>\,L</math>.
▲עושים זאת באמצעות [[הוכחה בדרך השלילה|הוכחה על דרך השלילה]]. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-<math>\,E</math> מוגדרת על תת-מרחב <math>\ L' \subset L</math>, כאשר <math>\ L' \ne L</math>. אזי קיים <math>\ y \in L - L'</math> ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על-ידי <math>\ \rho</math>, המוגדרת על-ידי:
▲: <math>\ \forall z \in \mbox{span}\left(L' \cup \{y \} \right)\ : \ f(z) = f(x + \lambda y) = f'(x) + \lambda y'</math>
▲כאשר <math>\ z = x + \lambda y</math> פירוק יחיד של <math>\,z</math> כאשר <math>\ x \in L'</math> ו-<math>\,f'</math> הוא ההרחבה המקסימלית על <math>\,L'</math> (והם איברי המשפחה <math>\,E</math>). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך <math>\ f'(y) = y'</math> כך שלכל <math>\,z</math> בתחום ההגדרה יתקיים <math>\ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z) </math>. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א ([[חסם עליון]]) ושימוש בתכונותיה של [[פונקציה תת-לינארית]] אפשר להראות שקיים <math>\,y'</math> כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-<math>\,f'</math> מ-<math>\,L'</math> לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-<math>\,E</math>.
▲מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של <math>\,E</math>, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-<math>\,E</math>, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו [[סתירה]].
▲לכן, האיבר המקסימלי של <math>\,E</math> מוגדר היטב על כל <math>\,L</math> ומהווה הרחבה של <math>\,f_0</math> המקיימת את הנדרש.
== ראו גם ==
| |||