מטריצה אורתוגונלית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Shani hodaya (שיחה | תרומות) אפשרות הצעות קישורים: נוספו 3 קישורים. |
|||
שורה 5:
* <math>\ A A^t = I</math>, כלומר <math>\ A^t = A^{-1}</math>.
* <math>\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{Av} \cdot \vec{Aw}</math>, כלומר שהכפל של וקטורים ב-<math>\ A</math>משמר [[מכפלה סקלרית]].
* העמודות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.
* השורות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.
שורה 17:
המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה <math>\ SO_n(F)</math> של <math>\ O_n(F)</math>. בשדה מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] שונה מ-2, <math>\ SO_n(F) \triangleleft O_n(F)</math> היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). ה[[מטריצה סקלרית|מטריצות הסקלריות]] האורתוגונליות הן <math>\ \pm I</math>, ומגדירים את חבורות המנה <math>\ PO_n(F) =O_n(F)/\langle-I\rangle</math> ו- <math>\ PSO_n(F) = SO_n(F)/(\langle -I\rangle \cap SO_n(F))</math>.
המטריצה <math>\ -I</math>שייכת ל- <math>\ SO_n(F)</math>[[אם ורק אם]] n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות <math>\ O_n, SO_n, PO_n, PSO_n</math>שונות זו מזו, ואילו כאשר n אי זוגי, <math>\ O_n \cong SO_n \times \langle -I \rangle</math>ו- <math>\ PO_n \cong SO_n = PSO_n</math>.
=== המקרה n=2 ===
שורה 30:
* <math>A\,</math> [[מטריצה הפיכה]] ו-<math>A^{-1} = \overline{A}^T\,</math>
* מטריצה אוניטרית שומרת [[מכפלה פנימית]]: <math> \langle Ax,Ay \rangle = \langle x , A^{*}Ay \rangle = \langle x , Iy \rangle = \langle x,y \rangle</math> (כאן נעזרנו בתכונות [[אופרטור הרמיטי|הצמוד ההרמיטי]] ב[[מכפלה פנימית]])
* מטריצה אוניטרית שומרת על [[נורמה (אנליזה)|נורמה]], <math>\ \| A x \| = \| x \|</math>. כתוצאה מכך, [[ערך מוחלט]] של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
* אם A אוניטרית <math>A^*\,</math> ו-<math>\overline{A}</math> גם הן אוניטריות
| |||