משפט דה מואבר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Udi Fogiel (שיחה | תרומות) אפשרות הצעות קישורים: נוספו 2 קישורים. |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
[[קובץ:Abraham de moivre.jpg|ממוזער|אברהם דה-מואבר]]
'''משפט דה-מואבר''', שקרוי על שמו של [[אברהם דה-מואבר]] (Abraham de Moivre), קובע שלכל [[מספר ממשי]] <math>x</math> ולכל [[מספר שלם]] <math>n</math> מתקיים <math>\big(\cos (x) + i \sin (x)\big)^n = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>. [[קובץ:Abraham de moivre.jpg|ממוזער|אברהם דה-מואבר]]<math>\cos(x)</math> מייצג את הרכיב הממשי [[מספר מרוכב|במספר המרוכב]] <math>\cos(x)+i\sin(x)</math>, ו- <math>i\sin(x)</math> את הרכיב המדומה במספר זה. כלומר, חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת [[פונקציות טריגונומטריות|גדלים טריגונומטריים]] <math>\cos(nx)</math> ו-<math>\sin(nx)</math> כ[[פולינום|פולינומים]] ב- <math>\cos(x)</math> ו-<math>\sin(x)</math>, בהתאמה. כך לדוגמה, <math>\cos(5x) = 16\cos(x)^5-20\cos(x)^3+5\cos(x)</math> - ראו [[פולינומי צ'בישב]].▼
'''משפט דה-מואבר''', הקרוי על שמו של [[אברהם דה-מואבר]], קובע שלכל [[מספר ממשי]] <math>x</math> ולכל [[מספר שלם]] <math>n</math> מתקיים <math>\big(\cos (x) + i \sin (x)\big)^n = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>. <math>\cos(x)</math> מייצג את הרכיב הממשי [[מספר מרוכב|במספר המרוכב]] <math>\cos(x)+i\sin(x)</math>, ו- <math>i\sin(x)</math> את הרכיב המדומה במספר זה.
▲
את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]]. מן הזהות <math>\ [\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)] = \cos(x+y)+i\sin(x+y)</math>, השקולה ל[[זהות טריגונומטרית|זהויות הטריגונומטריות]] <math>\ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)</math> ו-<math>\ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)</math>.
שורה 6 ⟵ 9:
== הוצאת שורש מרוכב ==
ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם <math>z</math> הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה <math>z=A(\cos x+i\sin x)\,</math>, <math>\ 0 < A</math> ו- <math>\ 0<x<2\pi</math>.
| |||