משוואת מסטר – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Nad.ten (שיחה | תרומות)
תיקון קישור
תגיות: עריכה חזותית עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
מ הגהה, עריכת נוסחאות
 
שורה 7:
 
==מבנה המשוואה==
נתבונן במערכת לה מצבים אפשריים <math> \ {s_i} </math>. המערכת יכולה לעבור בין מצבים אלו. דינמיקת המעבר היא [[תהליך מרקובי|מרקובית]] כלומר קצב המעבר{{הערה|1= קצב המעבר הוא הסתברות מעבר ליחידת זמן}} בין המצבים תלוי אך ורק במצב הנוכחי של המערכת. נסמן את קצב המעבר ממצב <math>i </math> למצב <math>j </math> ב-<math>\ W_{ij} </math>, ואת ה[[הסתברות]] שהמערכת תהיה בזמן <math>t </math> במצב <math>\ s_i </math> ב-<math>\ P_i(t) </math>. ההתפתחות בזמן של ההסתברויות הנ"ל נתונה על ידי משוואת המסטר:
<math display="block"> \frac{dP_i}{dt}=\sum_j(W_{ji}P_j - W_{ij}P_i)</math>
האיבר הראשון באגף ימין מתאר גידול בהסתברות להיות במצב <math>i </math> כתוצאה ממעבר ממצב <math>j </math> כלשהו אל מצב <math>i </math>, ואילו האיבר השני מתאר יציאה ממצב <math>i </math> אל מצב <math>j </math> המקטינה את ההסתברות להיות במצב <math>i </math>.
 
המשוואה הנ"ל מתאימה למערכת עם מצבים דיסקרטיים. קיימות הכללות של המשוואה למערכת עם רצף של מצבים.
 
==דוגמה==
נתונים <math>\ N </math> [[חלקיק]]ים [[רדיואקטיביות|רדיואקטיביים]] לא יציבים המתפרקים בקצב <math>\ \lambda </math>. נסמן ב
<math>\ P(n,t)</math> את ההסתברות שבזמן <math>\ t </math> נותרו <math>\ n </math> חלקיקים שלא התפרקו. ההתפתחות בזמן של ההסתברות מתוארת על ידי משוואת המסטר:
 
<math display="block"> \dot P(n,t) = \lambda [(n+1)P(n+1,t) - n P(n,t)] </math>
האיבר הראשון באגף ימין מתאר מעבר ממצב בו יש <math>n+1 </math> חלקיקים למצב בו יש <math>n </math> חלקיקים כתוצאה מהתפרקות אחד החלקיקים{{הערה|1=הפקטור הכפלי n+1 נובע מכך שכל אחד מהחלקיקים מתפרק באופן בלתי תלוי}}, והאיבר השני מעבר ממצב בו יש <math>n </math> חלקיקים למצב בו יש <math>n-1 </math> חלקיקים{{הערה|1= מזניחים התפרקות בו זמנית של 2 חלקיקים או יותר}}.
 
משוואה זו ניתן לפתור תוך שימוש ב[[פונקציה יוצרת|פונקציה היוצרת]] של ההתפלגות <math>\ G(x,t) = \sum_n x^n P(n,t) </math>.
 
באופן כללי לא ניתן לפתור את משוואת המסטר באופן אנליטי ויש לפותרה באופן [[אנליזה נומרית|נומרי]] או להשתמש בשיטות קירוב שונות.
 
==מצב עמיד ואיזון מפורט==
פעמים רבות, לא מתעניינים בתלות בזמן של ההסתברות, אלא בפונקציית ההתפלגות אליה ההסתברות מתכנסת לאחר זמן רב, המאופיינת על ידי <math> \dot P_i =0 </math> לכל <math>i </math> (מצב עמיד steady state). פונקציית ההתפלגות במצב עמיד עשויה להיות מסובכת, אולם עבור מקרים בהם מתקיים התנאי <math>\ W_{ij} = W_{ji} </math> (לכל <math>i,j </math>){{הערה|1=תנאי זה מתקיים באופן אוטומטי במערכות קוונטיות בהן קצבי המעבר נקבעים על פי [[כלל הזהב של פרמי]]}} ההתפלגות במצב יציב יחסית פשוטה. במערכות המקיימות תנאי זה, המכונה תנאי איזון מפורט (detailed balance) קיימת פונקציית "[[אנרגיה]]" <math> \ E(s_i) </math> כך שההסתברות למציאת המערכת במצב <math>\ s_i </math> נתונה על ידי [[התפלגות בולצמן]]:
<math display="block"> P(s_i,t \rightarrow \infty) = \frac{1}{Z}e^{-E(s_i)/kT} </math>
לא כל מצב עמיד הוא יציב, כלומר ישנם מצבים אשר מקיימים <math> \dot P_i =0 </math> לכל <math>i </math> אבל הם אינם יציבים תחת שינויים קטנים של פונקציית ההתפלגות, כלומר עבור שינוי אינפיניטסימלי בפונקציית ההתפלגות המערכת לא תחזור למצב "שיווי המשקל" אלא תתרחק ממנו{{הערה|1= ראו הסבר על שיווי משקל יציב בערך [[שיווי משקל מכני]]}}.
 
==ראו גם==