סדר חלקי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←יחסי סדר חזקים וחלשים: עריכה |
הסרת קישורים עודפים |
||
שורה 1:
[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3.svg|שמאל|ממוזער|280px|[[דיאגרמת הסה]] של איברי [[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] של <math>\{x,y,z\}</math> כאשר הסדר החלקי המוגדר עליהם הוא [[תת-קבוצה|הכלה]]. איבר המינימום הוא <math>\emptyset</math> ואיבר המקסימום <math>\{x,y,z\}</math>]]
ב[[תורת הקבוצות]], '''סדר חלקי''' על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>X</math> הוא [[יחס בינארי]] המקיים אחת משתי קבוצות של אקסיומות:
* היחס [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]] ו[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]] - זהו '''יחס סדר חלש'''.
* היחס
הקבוצה <math>X</math>, יחד עם יחס הסדר, נקראת קבוצה סדורה.
שורה 12:
== יחסי סדר חזקים וחלשים ==
שני סוגי היחסים כרוכים זה בזה: אם <math>\leq</math> יחס סדר חלש, אז היחס (<math>a \leq b</math> אבל <math>a \neq b</math>) הוא יחס סדר חזק. אם <math><</math> יחס סדר חזק, אז היחס (<math>a < b</math> או
באופן כללי יכולים להיות שני איברים של <math>X</math> שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם '''יחס סדר חלקי'''. אם עבור כל <math>a,b \in X</math> מתקיים <math>a \le b</math> או <math>b \le a</math> אז קוראים ליחס <math>\le</math> '''סדר ליניארי''' או '''[[סדר מלא]]''', ולזוג <math>\left(X, \le\right)</math> '''קבוצה סדורה ליניארית''', או '''[[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]]'''.
שורה 18:
== דוגמאות ==
* קבוצת כל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] המסומנת כך: <math>\left(\mathbb{N},\le\right)</math> עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה ליניארית. כך גם ה[[ממשיים]].
*יחס החלוקה של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] המסומן כך: <math>\mid</math> מוגדר כך: <math>m \mid n</math> [[אם ורק אם]] <math>m</math> [[מחלק]] את <math>n</math> ללא שארית. הקבוצה המחולקת <math>\left(\mathbb{N},\mid\right)</math> היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני ללא שארית. יחס החלוקה אינו יחס סדר על ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] כי אינו [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]]: <math>1 \mid -1</math> וגם <math>-1 \mid 1</math> אף על פי ש-<math>-1\ne 1</math>.
▲*יחס החלוקה של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] המסומן כך: <math>\mid</math> מוגדר כך: <math>m \mid n</math> [[אם ורק אם]] <math>m</math> [[מחלק]] את <math>n</math> ללא שארית. הקבוצה המחולקת <math>\left(\mathbb{N},\mid\right)</math> היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני ללא שארית. יחס החלוקה אינו יחס סדר על ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] כי אינו [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]]: <math>1 \mid -1</math> וגם <math>-1 \mid 1</math> אף על פי ש-<math>-1\ne 1</math>.
== איברים מיוחדים ==
[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3 no greatest or least.svg|שמאל|ממוזער|280px|דיאגרמת הסה של התרשים העליון ללא איברי המינימום והמקסימום. בקבוצה מצומצמת זו, כל האיברים בשורה העליונה הם מקסימליים וכל האיברים בשורה התחתונה הם מינימליים.]]
| |||