לוגיקה מסדר שני – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ Cat-a-lot: העברה מקטגוריה:ערכים בהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה ל קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה שימוש בCat-a-lot |
מ ←יכולת ביטוי: קישורים פנימיים |
||
שורה 2:
== יכולת ביטוי ==
בלוגיקה מסדר שני אנחנו יכולים לבטא משמעותית יותר מאשר בלוגיקה מסדר ראשון. כך למשל, ניתן לבטא כבר בלוגיקה מסדר ראשון את העובדה ש[[מספר ממשי|שדה המספרים הממשיים]] הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[יחס סדר קווי|סדור קווית]] (כיוון שכדי לנסח את העובדה הזו אנחנו צריכים רק להשתמש בכמתים על איברים במבנה), אבל לא ניתן לבטא בשפה מסדר ראשון את העובדה שלכל קבוצה חסומה יש חסם עליון מינימלי. עובדה זו ניתנת לביטוי על ידי לוגיקה מסדר שני, כיוון שהמשפט "'''לכל קבוצה''' <math>A</math> אם <math>A</math> חסומה אז קיים חסם מינימלי" משתמש בכמת על פני הקבוצות, שמותר בלוגיקה מסדר שני. תכונה זו מכריחה את אוסף הממשיים להיות
בלוגיקה מסדר שני אפשר לבטא את העובדה "<math>A</math> סופית" - כי המשמעות של עובדה זו היא שכל [[פונקציה חח"ע]] מ-<math>A</math> לעצמו היא גם [[פונקציה על|על]]. באופן דומה, ניתן לבטא גם את העובדה "<math>A</math> בת מנייה" - כי אז בין כל שתי תתי-קבוצות אינסופיות של <math>A</math> יש פונקציה חח"ע ועל. שני המושגים האלו אינם ניתנים לביטוי בלוגיקה מסדר ראשון, לפי [[משפט הקומפקטיות]] ו[[משפט לוונהיים-סקולם]], ולכן שני המשפטים האלו אינם מתקיימים בלוגיקה מסדר שני.
|