פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

נוספו 475 בתים ,  לפני 14 שנים
מ
עוד קצת
מ (עוד קצת)
(ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).
 
==תכונות הפונקציה ==
פונקציה זו מוגדרת על כל [[הישר הממשי]], והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
* פונקציה זו [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שבו היא רציפה.
נסדר את המספרים הרציונלים על הישר בסדרה <math>\{r_n\}_{n=1}^\infty </math>, ונגדיר פונקציה <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> על-ידי הנוסחה <math>g(x)=\sum_{\{n|r_n<x\}}\frac{1}{2^n}</math>. הפונקציה המתקבלת רציפה גם היא בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.
 
===קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה===
 
לא קיימת פונקציה הרציפה בכל נקודה רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, משום שקבוצת נקודות הרציפות של פונקציה היא קבוצת <math>\ G_\delta</math>, ואילו קבוצת המספרים הרציונלים על הישר אינה קבוצת <math>\ G_\delta</math>.
==הוכחה==
נוכיח כי הפונקציה [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] על הישר.