סדרה מתכנסת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספת פרק על סדר התכנסות |
|||
שורה 22:
סדרה היא סוג של רשת, והסדרה מתכנסת (כסדרה) אם ורק אם היא מתכנסת כרשת, ולאותן נקודות גבול. לרשתות יתרונות רבים על-פני סדרות. לדוגמה, מרחב טופולוגי מקיים את תכונת האוסדורף אם ורק אם לכל רשת מתכנסת יש גבול יחיד. (אם ורק אם לכל [[מסנן (מתמטיקה)|מסנן]] מתכנס יש גבול יחיד).
== קצב התכנסות וסדר התכנסות ==
פעמים רבות נרצה לבדוק עד כמה מהר מתכנסת סדרה כלשהי. פרמטר זה חשוב במיוחד בבעיות אופטימיזציה שבהם אנו מנסים לשער ערך מסוים על-ידי פעולה איטרטיבית כלשהי אשר מתכנסת לערך הרצוי (לדוגמה, חישוב [[שורש (של פונקציה)|שורש של פונקציה]] באמצעות [[שיטת ניוטון-רפסון]]).
אחת הדרכים לייצוג מהירות ההתכנסות היא באמצעות חישוב קצב התכנסות וסדר התכנסות. בהינתן סדרה <math>\left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty</math> המתכנסת לערך <math>L</math> נאמר שהסדרה '''מתכנסת בקצב <math>\mu</math>''' ו'''מסדר <math>q</math>''' אם ורק אם:
<math>\lim_{k\to\infty}{\frac{\left|x_{n+1}-L\right|}{\left|x_{n}-L\right|^q}}=\mu</math>
זאת כאשר <math>q\ge1</math>. ככל ש-<math>q</math> גדול יותר, כך הסדרה הלכה למעשה מתכנסת מהר יותר אל הגבול שלה.
==ראו גם==
| |||