סדרה מתכנסת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספת פרק על סדר התכנסות |
הוספת מקור לסדר התכנסות |
||
שורה 13:
את התנאי <math>d(a_n,x) < \varepsilon</math> אפשר לנסח קצת אחרת: <math>a_n \in B_\varepsilon(x)</math>, כאשר <math>B_r(x)</math> הוא ה[[כדור (טופולוגיה)|כדור]] ברדיוס <math>r</math> סביב <math>x</math>. ניסוח זה מוביל להגדרה הכללית של סדרה מתכנסת ב[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math>: אומרים שסדרה <math>\{a_1,a_2,\dots\}</math> של נקודות ב-<math>X</math> '''מתכנסת''' לנקודה <math>x</math> ('''גבול הסדרה'''), אם לכל [[סביבה פתוחה]] <math>U</math> של <math>x</math>, יש מספר <math>N</math> שממנו והלאה מתקיים <math>a_n \in U</math>.
מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא '''מרחב-US'''. כפי האמור לעיל, כל מרחב מטרי מקיים את התכונה הזו, ובאופן יותר כללי, כל [[מרחב האוסדורף]] הוא מרחב-US. מאידך, כל מרחב-US מקיים את [[תכונת ההפרדה T1]]. למעשה, תכונת יחידות הגבול מתקיימת במשפחה מעט יותר כללית של מרחבים טופולוגיים: כל '''מרחב-KC'''
בין מרחבים המקיימים את [[אקסיומת המניה הראשונה]], מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה לרשתות.
שורה 24:
== קצב התכנסות וסדר התכנסות ==
פעמים רבות נרצה לבדוק עד כמה מהר מתכנסת סדרה כלשהי. פרמטר זה חשוב במיוחד בבעיות אופטימיזציה
אחת הדרכים לייצוג מהירות ההתכנסות היא באמצעות חישוב קצב התכנסות וסדר התכנסות. בהינתן סדרה <math>\left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty</math> המתכנסת לערך <math>L</math> נאמר שהסדרה '''מתכנסת בקצב <math>\mu</math>''' ו'''מסדר <math>q</math>''' אם ורק אם:
<math>\lim_{k\to\infty}{\frac{\left|x_{n+1}-L\right|}{\left|x_{n}-L\right|^q}}=\mu</math><ref>Senning, Jonathan R. "[https://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma342/handouts/rate.pdf Computing and Estimating the Rate of Convergence]" (PDF). ''gordon.edu''. Retrieved 2020-08-07.</ref>
זאת כאשר <math>q\ge1</math>. ככל ש-<math>q</math> גדול יותר, כך הסדרה הלכה למעשה מתכנסת מהר יותר אל הגבול שלה.
| |||