חבורת אוילר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Eyal Bairey (שיחה | תרומות) מ תיקון קישור לדף פירושונים |
מ בוט החלפות: ד"ר ; |
||
שורה 1:
'''חבורות אוילר''' הן [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] בעלות תפקיד יסודי ב[[תורת המספרים]] האלמנטרית. החבורות קרויות על-שם [[לאונרד אוילר]], שנעזר במבנה זה - עוד לפני ש[[תורת החבורות]] באה לעולם - כדי להוכיח את ההכללה של [[המשפט הקטן של פרמה]], הידועה בשם "[[משפט אוילר]]".
חבורת אוילר מסדר n כוללת, על-פי ההגדרה, את המספרים השלמים מתוך <math>\{ 1,2,\dots,n\}</math> שהם [[מספרים זרים|זרים]] ל- n, עם פעולת הכפל [[חשבון מודולרי|מודולו]] n. מקובל לסמן חבורה זו באותיות <math>\ U_n</math> או <math>\ Euler(n)</math>. השימוש במלה '
לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים <math>\ U_{15}=\{1,2,4,7,8,10,11,13,14\}</math>. קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר ל[[אוקלידס]] ומופיעה בספרו "[[יסודות (ספר)|יסודות]]": אם a ו- b שני מספרים הזרים ל- n, אז גם המכפלה ab זרה ל- n. במלים אחרות, הקבוצה <math>\ U_n</math> סגורה לכפל. בנוסף לזה, אם a זר ל- n אז [[מחלק משותף מקסימלי|אלגוריתם אוקלידס המוכלל]] מאפשר למצוא מספרים שלמים <math>\ u,v</math> כך ש- <math>\ ua+vn=1</math>, ובחישוב מודולו n מתקבל ש- u הוא ההפכי של a; מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי - ולכן היא חבורה.
| |||