כלל השרשרת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הטמעת תבנית:בקרת זהויות בערכים (תג) |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 5:
הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של [[פונקציה סקלרית]] [[מספר ממשי|ממשית]] במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.
תהיינה <math>\ f(x),g(x):\mathbb{R}\rarr\mathbb{R}</math> פונקציות, כך
כלומר, הנגזרת של <math>\ h </math> בנקודה כלשהי היא מכפלת הנגזרות של <math>\ f,g </math>, כאשר
<math>\ g' </math> מחושבת בנקודה, ואילו <math>\ f' </math> מחושבת בתמונת הנקודה על פי <math>\ g </math>.
שורה 30:
על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.
ההוכחה הזו לא עובדת למשל בפונקציה <math>g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})</math> בנקודה <math>x_0 = 0</math>. במקרה הזה, אף על פי שהפונקציה g גזירה בנקודה 0, בכל סביבה של 0 יש נקודה t בה <math>g(0) = g(t) = 0</math>.
כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר Q. הערך של Q יהיה שונה מהמוכפל השמאלי רק במקרים בהם <math>g(x) = g(x_0)</math>:
:<math>Q(y) = \begin{cases}
\frac{f(y) - f(g(x_0))}{y - g(x_0)}, & y \neq g(x_0), \\
שורה 40 ⟵ 41:
כעת נחשב את הגבול:
:<math>\lim_{x \to x_0} Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}</math>
חישוב זה ייתן לנו את התוצאה הרצויה כיוון שמתקיים תמיד:
:<math>Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{ f( g(x)) - f (g(x_0))}{x - x_0}</math>
ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים - במקרה בו <math>g(x) = g(x_0)</math> שני צדדי המשוואה מתאפסים, ואחרת המכנה בהגדרת Q מצטמצם עם המונה בשבר הימני.
כיוון ש-f גזירה בנקודה <math>g(x_0)</math>, Q רציפה באותה נקודה, ולכן מתוך [[אריתמטיקה של גבולות]], נקבל את התוצאה הרצויה.
==דוגמאות לשימוש בכלל==
נרצה לגזור את הפונקציה <math> h(x) = (1 + x^2)^3</math>
נשים לב כי <math>\ h(x) = f(g(x)) </math>
<math>\ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math>
שורה 63 ⟵ 65:
\ h'(x)=3(1+x^2)^2 \cdot 2x
</math>
===נגזרת של [[פונקציה הפיכה]]===
הנגזרת של הפונקציה <math>\ f^{-1}(x)</math> ניתנת לחישוב על פי הנוסחה:
: <math>\ (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}</math>
כלל זה נובע מכלל השרשרת מאחר ש-<math>[f(f^{-1}(x)]=x</math> ולכן הנגזרת שלה היא 1.
==קישורים חיצוניים==
שורה 74 ⟵ 77:
{{אנליזה מתמטית}}
{{בקרת זהויות}}
| |||