מחלק – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה, הרחבה |
עריכה, הרחבה |
||
שורה 5:
ראו=[[משטח רימן]]}}
ב[[מתמטיקה]], [[מספר שלם]] a הוא '''מחלק''' (או '''גורם''') של מספר שלם b אם אפשר לכתוב את b כ[[כפל|מכפלה]] של a במספר שלם c, כלומר אם קיים <math>\Z\ni c</math> כך ש-<math>b=ac</math>. במקרה כזה, ה[[שארית (חילוק)|שארית]] בחלוקה של b ב-a היא 0. באופן פורמלי, נהוג לרשום <math>\ a \mid b</math> או <math>\ a \nmid b</math> כדי לציין ש- a מחלק או לא מחלק את b בהתאמה (לדוגמה, <math>5 \mid 35</math> אבל <math>5\nmid 33</math>). מהגדרה זו נובע באופן מיידי ש-<math>a\mid ka</math> לכל <math>k</math> שלם ([[פונקציה הומוגנית|הומוגניות]]), ובפרט <math>a\mid a</math> ([[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]). כמו כן, לכל <math>k</math> שלם <math>k\mid 0</math> ובפרט <math>0\mid 0</math> (כי <math>0=k\cdot 0</math>). חשוב לזכור שאמנם אפס מחלק את אפס אבל הפעולה [[חילוק באפס|החילוק באפס]] לא מוגדרת. בפרט הביטוי 0:0 לא מוגדר, כיוון שהשיוויון <math>0=0\cdot k</math> מתקיים עבור כל מספר טבעי <math>k</math>. בנוסף, ה[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]] "לחלק את" הוא [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], כיוון שאם <math>\ a \mid b</math> וגם <math>\ b \mid c</math> אז קיימים <math>\Z\ni k,l</math> כך ש-<math>b=ka</math> ו-<math>c=lb</math> ומכאן <math>c=lka</math> ולכן <math>\ a \mid c</math>.
מהרפלקסיביות והטרנזיטיות נובע ששהיחס מהווה [[קדם סדר]] מעל השלמים. היחס אינו [[סדר חלקי|יחס סדר חלקי]] מעל השלמים, כיוון שהוא לא [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]] (למשל <math>5\mid -5</math> וגם <math>-5\mid 5</math>). יחד עם זאת, היחס “מחלק-את” מעל הטבעיים הוא אנטי סימטרי כיוון שלכל <math>\N \ni a,b</math> אם <math>\ a \mid b</math> וגם <math>\ b \mid a</math> אז <math>\ a \le b</math> וגם <math>\ b \le a</math> ומכאן <math>a=b</math>. לכן הוא סדר חלקי (חלש) מעל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]].▼
▲מהרפלקסיביות והטרנזיטיות נובע ששהיחס מהווה [[קדם סדר]] מעל השלמים. היחס אינו [[סדר חלקי|יחס סדר חלקי]] מעל השלמים, כיוון שהוא לא [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]] (למשל <math>5\mid -5</math> וגם <math>-5\mid 5</math>). יחד עם זאת, הוא סדר חלקי (חלש) מעל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]].
בנוסף,
תכונה נוספת של המחלק היא לינאריות, כלומר אם <math>a\mid b</math> וגם <math>a\mid c</math> אז לכל <math>\Z\ni n,m</math> מתקיים <math>a\mid mb+nc</math>. לצורך הוכחת הלינאריות נוכיח תחילה את תכונת האדיטיביות, כלומר אם <math>a\mid b</math> וגם <math>a\mid c</math> אז <math>a\mid b+c</math>. אם <math>a\mid b,c</math> אז <math>b=ak</math> ו-<math>c=al</math> ומכאן <math>b+c=a(k+l)</math>, לכן <math>a\mid b+c</math>. מתכונת הלינאריות ותכונת ההומגניות שהוכחנו קודם נובעת תכונת הלינאריות, כלומר: אם <math>a\mid b,c</math> אז <math>a\mid mb</math> וגם <math>a\mid nc</math> (הומגניות), ומכאן <math>a\mid mb+nc</math> (אדיטיביות).
| |||