עקום אלגברי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ עדכון תבנית:דף שער בספרייה הלאומית בקישורים חיצוניים (תג) |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[גאומטריה אלגברית]], '''עקום אלגברי''' הוא [[יריעה אלגברית]]
בדרך כלל דושים שעקום יהיה בלתי-פריק. אם לא דורשים זאת אז דורשים שכל רכיבי האי-פריקות שלו יהיו חד ממדיים. עקום שלם הוא תמיד פרויקטיבי.
למרות פשטותם היחסית, המחקר של עקומים אלגבריים הוא עשיר ומאתגר.
משפטים רבים בגאומטריה אלגברית הוכחו תחילה עבור עקומים ואחר כך הוכללו עבור יריעות כלליות. במקרים רבים הוכחת המשפט לעקומים שונה מאוד מהרדוקציה מיריעה כללית לעקום. בהרבה מקרים ההוכחה לעקומים בתבססת על חישובים מפורשים בעוד שהרדוקציה למקרה של עקום מתבססת על כלים כללים של גאומטריה אלגברית.
==עקומים חלקים==
חוג הקואורדינטות של עקום אלגברי חלק הוא [[חוג דדקינד]]. לכן (בהקשר הרחב יותר של [[סכמה (מתמטיקה)|סכומות]]) חקר של עקומים אלגבריים אפיניים חלקים שקול לחקר [[חוג דדקינד]].
לכל עקום אלגברי חלק יש קומפקטיפיקציה (זאת אומרת עקום שלם המכיל אותו כתת-קבוצה פתוחה צפופה) חלקה יחידה. לכן ניתן למיין עקומים אלגבריים חלקים באמצעות עקומים חלקים שלמים. באופן מפורש יותר, כדי לתאר עקום חלק, צריך לתאר עקום חלק שלם ולהוציא ממנו קבוצה סופית של נקודות.
===עקומים שלמים חלקים===
אם אנו מתענינים בעקומים מעל שדה, אז יש מיון ידוע של [[עקום אלגברי|עקומים]] [[יריעה אלגברית חלקה|חלקים]] [[יריעה אלגברית שלמה|שלמים]]. האינווריאנט הממיין הראשי של עקומים כאלה הוא ה[[גנוס (גאומטריה אלגברית)|גנוס]]. במקרה <math>k=\C</math> המרחב <math>X(\C)</math> הוא [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] טופולוגי [[יריעה סגורה|סגור]] [[יריעה אוריינטבילית|אורינטבילי]], והגנוס של <math>X</math> הוא ה[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] של <math>X(\C)</math> כמשטח טופולוגי. מזה נובע שמחלקת ה[[דיפאומורפיזם]] של <math>X(\C)</math> תלויה רק בגנוס של <math>X</math> אם <math>X</math> הוא עקום שלם חלק מרוכב. בהינתן גנוס קבוע <math>g</math> יש מבנה של יריעה אלגברית (ליתר דיוק של [[סטק דלין ממפורד]]) על אוסף כל מחלקות האיזומורפיזם של עקומים מגנוס <math>g</math>.
יש עקום יחיד מגנוס 0. הוא הישר הפרויקטיבי. זה העקום החלק השלם היחיד המהווה [[יריעת פאנו|יריעת]] [[ג'ינו פאנו|פאנו]]. עקומים מגנוס 1 נקראים [[עקום אליפטי|עקומים אליפטיים]]. יש משפחה חד פרמטרית של עקומים כאלה (הפרמטר נקרא אינווריאנט <math>j</math> של העקום והוא רץ ב-<math>k</math>). לעקומים אליפטיים מקום מיוחד בחקר העקומים ובגאומטריה אלגברית בכלל. על כל עקום אליפטי יש מבנה של [[חבורה אלגברית]]. חבורת האוטומורפיזם של עקום אליפטי (כשחושבים עליו כיריעה) היא הרחבה סופית של העקום עצמו (כשחושבים עליו כחבורה). עקומים אליפטיים הם העקומים החלקים השלמים היחידים המהווים [[יריעת קאלאבי-יאו|יריעות קאלאבי-יאו]].
עקום אלגברי שלם חלק שהתפרסם בזכות הקשר שלו ל[[המשפט האחרון של פרמה|משפט פרמה]] הוא [[עקום פרמה]].
<center>
{|
|-
|[[קובץ:Riemann_sphere1.svg|שמאל|ממוזער|200px|[[הספירה של רימן]]: יצוג גאומטרי של הישר הפרויקטיבי המרוכב. הישר הפרויקטיבי הוא [[עקום אלגברי|העקום האלגברי]] [[יריעה אלגברית חלקה|החלק]] ה[[יריעה אלגברית שלמה|שלם]] היחיד מ[[גנוס (גאומטריה אלגברית)|גנוס]] 0]]
|[[קובץ:Torus illustration.png|שמאל|ממוזער|200px|טורוס - [[משטח (טופולוגיה)|משטח טופולוגי]] [[יריעה סגורה|סגור]] [[יריעה אוריינטבילית|אוריינטבילי]] מ[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] 1. אם <math>X</math> הוא [[עקום אליפטי]] (עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 1) אז <math>X(\C)</math> [[דיפאומורפיזם|דיפאומורפי]] לטורוס.]]
|[[קובץ:Double torus illustration.png|שמאל|ממוזער|200px|משטח טופולוגי סגור אוריינטבילי מגנוס 2. אם <math>X</math> הוא עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 2 אז <math>X(\C)</math> דיפאומורפי למשטח זה.]]
|[[קובץ:Triple torus illustration.png|שמאל|ממוזער|200px|משטח טופולוגי סגור אוריינטבילי מגנוס 3. אם <math>X</math> הוא עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 3 אז <math>X(\C)</math> דיפאומורפי למשטח זה.]]
|}
</center>
[[קובץ:ECClines-3.svg|מרכז|ממוזער|350px|החלק האפיני שני עקומים אליפטיים ממשיים משוכנים במישור. כפי שניתן לראות, ירעות הנקודות הממשייות של עקומים אלו אינן דיפיאומורפיות. אולם ירעות הנקודות המרוכבות שלהם דיפאומורפיות]]
[[קובץ:ECClines.svg|מרכז|ממוזער|700px|פעולת החיבור על עקום אליפטי המשוכן במישור. סכום של כל 3 נקודות על אותו ישר הוא 0. הנקודה באינסוף היא-0. (נקודה זאת לא מופיעה בציור, מכיוון שהוא מציג רק את החלק אפיני (וגם לא את כולו).]]
==עקומים סינגולריים==
אם העקום אינו חלק אז כל הסינגולריות שלו מבודדות. לכן נהוג לחקור עקומים לא חלקים רק מקומית בסביבת הסינגולריות. אין מיון מלא של כל הסינגולריות האפשריות של עקומים, אבל בהנחות מסוימות על הסינגולריות לעיתים קיים מיון. אחד הדברים שמקלים על המיון הזה היא העובדה שעקום [[יריעה נורמלית|נורמלי]] הוא תמיד חלק. לכן [[נורמליזציה (גאומטריה אלגברית)|נורמליזציה]] של עקום מהווה [[התרת סינגולריות]] קנונית שלו.
==עקומים מישוריים==
עקום מישורי אפיני הוא עקום השוכן במישור האפיני בתור תת-קבוצה סגורה. עקום כזה תמיד ניתן להגדרה על ידי משוואה אחת (משני משתנים). המעלה של המשוואה הזאת נקראת המעלה של העקום. באופן דומה עקום מישורי פרויקטיבי ממעלה <math>k</math> הוא עקום במישור הפרויקטיבי הנתון על ידי משוואה הומוגנית אחת ממעלה <math>k</math> משלושה משתנים. אוסף כל העקומים המישוריים הפרויקטיבים ממעלה <math>d</math> הוא מרחב פרויקטיבי ממד
<math display="block">\frac{(d+1)(d+2)}{2}-1</math>
ניתן לחלק מרחב זה לתתי יריעות לפי הטיפוסים השונים של העקומים. מיון של עקומים מישוריים ממעלה נתונה איננה משימה פשוטה. מנקודת מבט מודרנית, מבין כל משימות מיון העקומים המישוריים, קל יותר למיין עקומים מישוריים פוריקטיביים מעל שדה סגור אלגברית (למשל <math>\C</math>).
ולכן בדרך כלל מתחילים במקרה זה, אחר כך מנסים לעדן את המיון שיתאים לשדות אחרים (למשל <math>\R</math>) ולמקרה האפיני. אולם, היסטורית, שדה המרוכבים והגאומטריה הפרויקטיבית התפתחו מאוחר, לכן עקומים ממעלה נמוכה נחקרו תחילה במקרה הממשי האפיני.
עקומים מישוריים ממעלה 1 הם ישרים. אפשר לראות במיון של עקומים מישוריים ריבועיים כנקודת ההתחלה של הגאומטריה האלגברית, הוא היה ידוע עוד ב[[יוון העתיקה]].
במקרה האפיני הממשי הם:
[[קובץ:Quadratic_planar_curves.png|שמאל|ממוזער|500px|עקומים מישוריים ריבועיים והקשרים ביניהם]]
[[קובץ:All conic sections.png|ימין|ממוזער|200px|את כל העקומים המישוריים הריבועיים הממשיים האפיניים בעלי הנקודות מלבד "זוג ישרים מקבילים" ניתן לקבל מחיתוך של חרוט על ידי מישור]]
* [[פרבולה]] (איזומורפית לישר)
* [[היפרבולה]] (איזומורפית לישר בלי נקודה)
* [[אליפסה]] (איזומורפית ל[[מעגל]])
* שני ישרים מקבילים
* שני ישרים נחתכים
* מעגל עם רדיוס 0 (יריעה בעלת נקודה ממשית 1)
* מעגל עם רדיוס שלילי (יריעה ללא נקודות ממשית כלל)
* זוג ישרים מקבילים מדומים (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
* ישר אחד (כפול)
המקרה הפרויקטיבי המרוכב פשוט יותר. יש רק שני סוגים של עקומים כאלה: ישר פרויקטיבי וזוג ישרים פרויקטיבים נחתכים.
המיון של עקומים מישוריים ממעלה שלישית מסובך בהרבה, הוא התבצע באופן חלקי על ידי [[ניוטון]] ובאופן מלא על ידי [[יוליוס פלוקר|פלוקר]] וכלל למעלה מ-100 מקרים. בשונה ממעלות נמוכות יותר, יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של כאלה עקומים. אולם, במקרה הפריקטיבי המרוכב ניתן לתאר את כל העקומים האלה בקלות יחסית:
[[קובץ:Cubic_planar_curves.png|שמאל|ממוזער|400px|עקומים מישוריים ממעלה 3 והקשרים ביניהם]]
* העקומים חלקים: אלה בדיוק העקומים האליפטיים. יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של עקומים כאלה, אך יריעות הנקודות שלהם הומיומורפיות.
* [[עקום נודלי]]: עקום בלתי פריק עם [[סינגולריות נודלית]]. סינגולריות נודלית היא סינגולריות הנראית (מקומית ב[[טופולוגית אטל]] או [[יריעה אנליטית|האנליטית]]) כמו זוג ישרים נחתכים. ה[[נורמליזציה (גאמטריה אלגברית)|נורמליזציה]] של עקום זה היא הישר הפרויקטיבי. אפשר לתאר את החלק האפיני של העקום על ידי המשוואה
<math display="block"> y^2 = x^2 \cdot (x + 1)</math>
: למשל. עקומים נודליים (לצד [[ניוון (גאומטריה אלגברית)|ניוונם]] - [[עקום קספידלי|עקומים קספידיים]]) הם העקומים המישוריים [[יריעה רציונלית|הרציונליים]] ממעלה 3. זאת אומרת, עקומים שיש להם פרמטריזציה על ידי זוג [[פולינום|פולינומים]] ממעלה 3. מסיבה זאת הם שימושיים ב[[גרפיקה וקטורית]]. מושג ה-[[Spline|cubic spline]] מבוסס על עקומים אלה. כאשר מציגים עקום בגרפיקה וקטורית באמצעות cubic spline, מחלקים אותו למקטעים המהווים עקום נודלי. אומנם עקומים נודליים מכילים חיתוכים עצמיים, חיתוכים אלה נמצאים בדרך כלל מחוץ למקטעים, ולכן לא מופיעים ב-spline.
* עקום קספידלי: עקום בלתי פריק עם סינגולריות יחידה בצורת [[סינגולריות חוד|חוד]]. גם הנורמליזציה של עקום זה היא הישר הפרויקטיבי. אפשר לתאר את החלק האפיני של העקום על ידי המשוואה <math display="block"> y^2 = x^3</math>
: למשל.
* ישר ועקום (בליתי פריק) ממעלה 2 הנחתכים בשתי נקודות. עקום זה איזומורפי לאיחוד של שני ישרים פרויקטיביים הנחתכים ב-2 נקודות.
* ישר ועקום (בליתי פריק) ממעלה 2 המשיקים בנקודה אחת. עקום זה איזומורפי לאיחוד של שני ישרים פרויקטיביים המשיקים בנקודה אחת.
* שלושה ישרים הנחתכים ב-3 נקודות.
* שלושה ישרים הנחתכים בנקודה אחת.
* שני ישרים נחתכים (אחד מהם כפול)
* ישר אחד (מריבוי 3).
ה[[גנוס (גאומטריה אלגברית)|גנוס]] של עקום מישורי פרויקטיבי חלק ממעלה <math>d</math> הוא <math display="block">g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}</math>
== ראו גם ==
* [[עקום אליפטי]]
* [[יריעה אלגברית]]
* [[עקום (מתמטיקה)]]
== קישורים חיצוניים ==
| |||