הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב נורמלי באופן מושלם"

מ
נ
מ (בוט החלפות: מדויק;)
מ (נ)
== הגדרות ותכונות ==
 
מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי באופן מושלם, אם אפשר להפריד בו כל שתי [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]], במדויק, באמצעות [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]]: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה <math>\ f:X\rightarrow \mathbb{R}</math>, כך ש- <math>\ f^{-1}(0)=A</math> ו- <math>\ f^{-1}(1)=B</math>. בהגדרה זו אפשר להחליף את [[הישר הממשי]] ב[[קטע]] <math>\ [0,1]</math>.
יש להבחין כי הפרדה זו חזקה יותר מן ההפרדה הרגילה באמצעות פונקציה, אותה מבטיחה [[הלמה של אוריסון]] בכל [[מרחב נורמלי]]. בפרט, מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב נורמלי.
 
מרחב נורמלי באופן מושלם המקיים בנוסף לזה את תכונת ההפרדה <math>\ T_1</math> (כלומר: כל נקודה מהווה קבוצה סגורה), נקרא '''מרחב <math>\ T_6</math>'''.
 
במרחב נורמלי באופן מושלם אפשר להפריד (באמצעות [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]) גם בין כל שתי קבוצות מופרדות (- קבוצות שכל אחת מהן [[קבוצות זרות|זרה]] ל[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של רעותה). לכן מרחב נורמלי באופן מושלם הוא [[מרחב נורמלי לחלוטין]], ומרחב <math>\ T_6</math> הוא גם מרחב <math>\ T_5</math>.
 
כהגדרה חלופית לנורמליות-באופן-מושלם, אפשר לקחת את התכונה הבאה: כל קבוצה סגורה היא קבוצת G-דלתא, כלומר חיתוך של סדרת קבוצות פתוחות.
 
כהגדרה חלופית לנורמליות- באופן- מושלם, אפשר לקחת את התכונה הבאה: כל קבוצה סגורה היא קבוצת G-דלתא, כלומר חיתוך של סדרת קבוצות פתוחות.
 
== כל מרחב מטרי הוא <math>\ T_6</math> ==
 
הדוגמה החשובה ביותר למרחבים נורמליים באופן מושלם היא זו של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. קל לראות שב[[מרחבשבמרחב מטרי]] <math>\ (X,d)</math> כל נקודה היא קבוצה סגורה, ולכן די להוכיח שאפשר להפריד באופן מדויק בין שתי קבוצות סגורות זרות, A ו- B.
 
נסמן ב- <math>\ d_A : X \rightarrow \mathbb{R}</math> את הפונקציה <math>\ d_A(x)=\inf_{a\in A}d(a,x)</math>, המחזירה את המרחק מן הקבוצה A. פונקציה זו מקיימת את אי-השוויון <math>\ |d_A(y)-d_A(x)|\leq d(x,y)</math>, ולכן היא [[פונקציה רציפה|רציפה]]. בנוסף לזה, מן העובדה ש- A [[קבוצה סגורה|סגורה]] נובע ש- <math>\ d_A(x)=0</math> אם ורק אם <math>\ x\in A</math>. באופן דומה מגדירים את הפונקציה <math>\ d_B</math>.
* [[מרחב נורמלי לחלוטין]]
* [[מרחב נורמלי]]
 
 
{{טופולוגיה}}
{{נ}}
[[קטגוריה:טופולוגיה]]