הבדלים בין גרסאות בדף "חוג נתרי"

הוסרו 23 בתים ,  לפני 13 שנים
מ
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותרית.
 
* כל [[תחום שלמות]] נותרי <math>\ R</math> הוא [[חוג אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] הוא מכפלת איברים אי פריקים מתוך <math>\ R</math>.<br />.
'''הוכחה:''' נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נותרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה <math>\left\{a_n\right\}</math> על ידי הכללים: <math>\ a_1 = a</math><br />;
<math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה <math>\ R</math><math>\ a_nRa_n</math> יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, ע"פ תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה <math>\left\{b_n\right\}</math> המוגדרת על ידי: <math>\ b_1 = a</math><br />;
<math>\ b_{n-1} = b_np_n</math>, כאשר <math>\ p_n</math> אי-פריק.
קיבלנו ש <math>\ a=p_2 ... p_m b_m</math> הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
* כל [[תחום ראשי]] הוא נותרי (מכיוון שהאידיאלים שלו נוצרים סופית).
 
 
==דוגמאות==