חוג נתרי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←תכונות |
מ ←תכונות |
||
שורה 28:
* כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא חוג נותרי. זה נובע מכך שהאידיאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-<math>\ \{0\}</math>.
* [[משפט הבסיס של הילברט]]: אם <math>\ R</math> חוג נותרי אז <math>\ R[x]</math> חוג נותרי (<math>\ R[x]</math> הינו חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל <math>\ R</math>). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - ע"י תנאי המקסימום וע"י תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של [[דויד הילברט|הילברט]] עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
* כל תמונה הומומורפית <math>\ R'</math> של חוג נותרי <math>\ R</math> היא נותרית בעצמה. במלים אחרות, אם <math>\ R</math> חוג נותרי ו-<math>\ I</math> אידיאל, אז חוג המנה <math>\ R/I</math> גם הוא נותרי.
'''הוכחה:''' נשתמש בתנאי הבסיס הסופי. המקור של כל אידיאל <math>\ I'</math> ב- <math>\ R'</math> הוא אידיאל <math>\ I</math> ב-<math>\ R</math>, והתמונה של כל אידיאל נוצר סופית ב-<math>\ R</math> היא אידיאל נוצר סופית ב-'R. מכיוון שכל אידיאל ב-<math>\ R</math> נוצר סופית (ע"פ תנאי הבסיס הסופי), מקבלים שכל אידיאל ב-<math>\ R'</math> נוצר סופית ולכן <math>\ R'</math> נותרי.
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותרית.
* כל [[תחום שלמות]] נותרי <math>\ R</math> הוא [[חוג אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] הוא מכפלת איברים אי פריקים מתוך <math>\ R</math>.
'''הוכחה:''' נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נותרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה <math>\left\{a_n\right\}</math> על ידי הכללים: <math>\ a_1 = a</math><br />; <math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה <math>\ Ra_n</math> יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, ע"פ תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה <math>\left\{b_n\right\}</math> המוגדרת על ידי: <math>\ b_1 = a</math><br />;
<math>\ b_{n-1} = b_np_n</math>, כאשר <math>\ p_n</math> אי-פריק.
קיבלנו ש <math>\ a=p_2 ... p_m b_m</math> הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
| |||