ויקיפדיה

סדרה מדויקת – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Loveless (שיחה | תרומות)
33,907 עריכות
מ רובוט מוסיף: ja:完全系列
עריכה קלה
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[אלגברה הומולוגית]], סדרה מדויקת היא סדרה שלמהצורה אובייקטים<math>\ ומורפיזמים\cdots ביניהםA_i כך\stackrel{f_{i}}{\rightarrow} שהתמונהA_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots</math>, שבה כל הרכבה <math>\ f_{i+1}\circ f_i</math> שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, ה[[תמונה (אלגברה)|תמונה]] של מורפיזםכל אחדהומומורפיזם שווה לגרעיןל[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של המורפיזםההומומורפיזם הבאשבא אחריו.
 
מבחינה אינטואטיבית, סדרה מדוייקת היא כלי המאפשר לבצע חישובים של [[מבנה אלגברי|מבנים אלגברים]] מסויימים מתוך מידע על מבנים אלגברים אחרים הנמצאים איתם באותה הסדרה.
המבנים <math>\ A_i</math> יכולים להיות [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]], [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], או כל [[מבנה אלגברי]] אחר.
ניתן להגדיר מושג זה בקטגוריות אלגבריות שונות ([[חבורה|חבורות]], [[חוג|חוגים]], [[מודול|מודולים]] וכו'). לשם פשטות, מאמר זה יעסוק בסדרות מדויקות של [[חבורה|חבורות]].
 
סדרות מדוייקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה. למשל, הסדרה <math>\ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B </math> מדוייקת אם ורק אם f הוא [[שיכון (אלגברה)|שיכון]], והסדרה <math>\ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0</math> היא מדוייקת, אם ורק אם f הוא [[איזומורפיזם]].
 
==הגדרה==
 
נניח שנתונה סדרה ([[סופית]] או [[אינסוף|אינסופית]]) של חבורותמבנים אלגבריים <math>\,G_i</math> ביחד עם אוסף של [[הומומורפיזם|הומומורפיזמים]] של חבורות <math>\,f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}</math>.
נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב <math>\,G_i</math> אם מתקיים השוויון <math>\,\mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i</math>.
הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב <math>\,G_i</math> לכל i.
שורה 17 ⟵ 20:
 
==סדרה קצרה מדויקת==
 
להלן נסמן ב-<math>0</math> את החבורה ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]]ת <math>\{0\}</math>. בהינתן 3 חבורות G,H,N, סדרה מדויקת מהצורה
:<math>\,0 \rightarrow H \rightarrow G \rightarrow N \rightarrow 0</math>
תיקרא '''סדרה קצרה מדויקת'''.
עקב הימצאותה של החבורה הטריוויאלית בתחילת הסדרה, נשים לב שהגרעיןהגרעין של ההעתקה מ-H ל-G הוא טריוויאלי לפי ההנחה, ולכן זהו שיכון. כמו כן, מהימצאותה של החבורה הטריוויאלית בסוף הסדרה, תמונת ההעתקה מ-G ל-N שווה לגרעין של ההעתקה הטריוויאלית מ-N לחבורה הטריוויאלית, ולפיכך ההעתקה מ-G ל-N היא על.
לבסוף, נשים לב שהתמונההתמונה של H ב-G שווה לגרעין של ההעתקה מ-G ל-N. לפיכך, אם נזהה את H עם תמונתה בתוך G, הרי שמ[[משפטי האיזומורפיזם (אלגברה)|משפט האיזומורפיזם]] נקבל איזומורפיזם <math>G/H \cong N</math>
 
[[קטגוריה:אלגברה]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/סדרה_מדויקת"