קבוצה סגורה – הבדלי גרסאות

 

ניתן גם להגדיר קבוצה סגורה בעזרת שימוש במושג ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]]: קבוצה סגורה היא קבוצה ששווה לסגור שלה.

 

במרחב טופולוגי כללי לא קיים יותר מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות סגורות באמצעותו. תחת זאת בוחרים לרוב להגדיר קבוצה סגורה בתור קבוצה ש[[משלים (תורת הקבוצות)|המשלים]] שלה הוא [[קבוצה פתוחה]]. נשים לב כי במרחבים מטריים כלליים העובדה שקבוצה שמשלימתה סגורה היא קבוצה פתוחה נכונה תמיד, והדבר בר הוכחה מתכונות המרחב, ולכן הגדרה זו מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של מושג הקבוצה הסגורה.

 

ניתן גם להשתמש בקבוצה הסגורה בתור מושג היסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב - עבור קבוצת אברי המרחב בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות לה שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות סגורות במובן המטרי) ומגדירים אותן "קבוצות סגורות". מהגדרה זו ינבעו כל הקבוצות הפתוחות שבמרחב, ועל כן דרך הגדרה זו אינה שונה מהגדרת טופולוגיה באמצעות קבוצות פתוחות.