הבדלים בין גרסאות בדף "בסיס (טופולוגיה)"

מ
←‏בסיס: תיקון ניסוח
מ (רובוט משנה: zh:基 (拓扑学))
מ (←‏בסיס: תיקון ניסוח)
'''בסיס''' של [[מרחב טופולוגי]] <math>\ ( X,\tau )</math> הוא אוסף <math>\ B</math> של [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]], כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, <math>\ \tau=\{\cup_{b \in I}b | I \subseteq B\}</math>. מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל <math>\ x\in X</math> ולכל קבוצה פתוחה <math>\ x\in U</math>, קיימת קבוצה <math>\ b\in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x\in b\subseteq U</math>.
 
ניתן לאפיין בסיס בצורה שקולה: אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לטופולוגיה כלשהי) [[אם ורק אם]] X [[כיסוי|מכוסה]] על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות <math>\ b_1,b_2 \in B</math> ונקודה בחיתוך <math>\ x\in b_1 \cap b_2</math>, קיימת קבוצה <math>\ b_3 \in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2</math>. כאמור, הגדרה זו גוררת את ההגדרה הראשונה, ולהיפך. יתרונה של הגדרה זו היא שקל לבדוק שהיא אכן מתקיימת לאוסף נתון של קבוצות. לדוגמה, קל לראות כי אוסף ה[[קטע פתוח|קטעים הפתוחים]] עם נקודות קצה [[מספר רציונלי|רציונליות]] מהווה בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית על ה[[ישר הממשי]].
בסיס נקרא גם '''מערכת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] יסודית'''.
 
בסיס נקרא לפעמים גם '''מערכת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] יסודית'''.
אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (ל''איזושהי'' טופולוגיה) אם X [[כיסוי (טופולוגיה)|מכוסה]] על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות <math>\ b_1,b_2 \in B</math> ונקודה בחיתוך <math>\ x\in b_1 \cap b_2</math>, קיימת קבוצה <math>\ b_3 \in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2</math>.
אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף האייחודים של קבוצות מן הבסיס מהווה טופולוגיה על X.
 
=== תת-בסיס ===
920

עריכות