הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב מכפלה"

נוספו 3,342 בתים ,  לפני 13 שנים
הרחבה
מ (רובוט מוסיף: pt:Topologia produto)
(הרחבה)
עבור כל קוארדינטה <math>\!\, n</math> קיימת פונקציית ההטלה <math>\!\, p_n:X\rarr X_n</math> שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה <math>\!\, n</math> שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]].
 
ניתן לאפיין בקלות יחסית את [[בסיס לטופולוגיה|תת הבסיס]] של טופולוגיה זו: תת-הבסיס מורכב מ[[מכפלה קרטזית]] של [[קבוצה פתוחה]] <math>\ V_{N} \subset X_{N}</math> בשאר המרחבים,. כלומר:, <math>\ U_{N} = V_{N} \times \prod_{n \ne N} X_n</math>. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל על ידי לקיחת כל החיתוכים ה'''סופיים''' של קבוצות גליליות. כלומר, קבוצה היא פתוחה במרחב המכפלה רק אם ההטלה שלה לכל קוארדינטה היא פתוחה, וההטלה שלה ל[[כמעט כל (מתמטיקה)|כמעט כל]] המרחבים היא המרחב כולו. יש לציין כי כאשר המכפלה היא סופית, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה ה"נאיבית" של טופולוגיית המכפלה, שבה תת הבסיס הוא קבוצות גליליות, וקבוצה היא פתוחה רק אם ההטלה שלה לכל מרחב היא פתוחה.
 
תחת הגדרה זו של טופולוגיה, [[משפט טיכונוף]] תקף.
 
כדאי לשים לב גם כי ההטלות הן תמיד העקתות פתוחות. כלומר, הטלה של כל קבוצה פתוחה לכל תת מרחב היא פתוחה. ההעתקות, לא חייבות להיות סגורות - ניתן לקחת כדוגמא נגדוית את ההטלה של הגרף של של הפונקציה ההפכית: <math> \ \{(x,\frac{1}{x}|x\ne 0 \}</math> . ההטלה של גרף זה לכל אחד מהצירים הוא הישר כולו פרט לאפס, וזו כמובן אינה קבוצה סגורה.
 
==התכונה האוניברסלית של מרחבי מכפלה==
ניתן לאפיין מרחבי מכפלה גם בצורה הבאה:
[[תמונה:CategoricalProduct-02.png|מרכז]]
 
אם <math> \ Y </math> הוא מרחב טופולוגי, ולכל <math> \ n </math> ההטלה <math> \ p_n :Y \to X_n </math> היא רציפה, אז קיימת העתקה רציפה יחידה, <math>\ f: Y \to X </math> כך שלכל <math> \ n </math> מתקיים כי <math> \ f_n=p_n \circ f</math>.
 
==תכונות נשמרות==
אומרים על תכונה שהיא נשמרת תחת מכפלה אם מתקיים שלכל אוסף של מרחבים <math> \ X_n</math> המקיימים את התכונה, גם מרחב המכפלה </math> \prod X_n</math> מקיים את התכונה.
 
===[[אקסיומות ההפרדה]]===
תכונות נשמרות:
* <math> \ T_0 </math>
* <math> \ T_1 </math>
* <math> \ T_2 </math> (האוסדורף)
* <math> \ T_{3\frac{1}{2}} </math> (טיכונוף)
* [[מרחב רגולרי|רגולריות]]
 
לעומת זאת, [[מרחב נורמלי|נורמליות]] לא בהכרח נשמרת תחת מכפלה.
 
===[[קומפקטיות]]===
[[משפט טיכונוף]] מראה כי מכפלה כלשהי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית. לעומת זאת, מכפלה של [[קומפקטיות מקומית|מרחבים קומפטיים מקומית]] אינה בהכרח קומפקטית מקומית.
 
===[[קשירות]]===
קשירות היא תכונה נשמרת תחת מכפלות.
 
 
==טופולוגיית הקופסאות==
ניתן גם להגדיר טופולוגיה שונה על מרחב מכפלה, שבסיסה הוא אוסף המכפלות של קבוצות פתוחות ב <math> \ X_n</math>. זוהי טופולוגיה עדינה יותר מטופולוגיית המכפלה, והיא פחות נפוצה. כמובן שכאשר מדובר בטופולוגיית הקופסאות, חלק מן הטענות האמורות בערך זה (כגון משפט טיכונוף, או שימור של אקסיומות הפרדה) אינן תקפות.
 
 
{{נ}}
920

עריכות