הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב מכפלה"

נוספו 254 בתים ,  לפני 13 שנים
מ
עבור כל קוארדינטה <math>\!\, n</math> קיימת פונקציית ההטלה <math>\!\, p_n:X\rarr X_n</math> שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה <math>\!\, n</math> שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]].
 
ניתן לאפיין בקלות יחסית את [[בסיס לטופולוגיה|תת הבסיס]] של טופולוגיה זו: תת-הבסיס מורכב מ[[מכפלה קרטזית]] של [[קבוצה פתוחה]] <math>\ V_{N} \subset X_{N}</math> בשאר המרחבים. כלומר, <math>\ U_{N} = V_{N} \times \prod_{n \ne N} X_n</math>. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל על ידי לקיחת כל החיתוכים ה'''סופיים''' של קבוצות גליליות. כלומר, אם קבוצה היא פתוחה במרחב המכפלה רק אםאז ההטלה שלה לכל קוארדינטה היא פתוחה, וההטלה שלה ל[[כמעט כל (מתמטיקה)|כמעט כל]] המרחבים היא המרחב כולו. יש לציין כי כאשר המכפלה היא סופית, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה ה"נאיבית" של טופולוגיית המכפלה, שבה תת הבסיס הוא קבוצות גליליות, וקבוצהואם קבוצה היא פתוחה רק אםאז ההטלה שלה לכל מרחב היא פתוחה. כדאי לשים לב כי גרירה זו נכונה רק בכיוון אחד - גם אם כל ההטלות של קבוצה לכל המרחבים היא פתוחה, אין זה אומר שהקבוצה היא פתוחה.
 
כדאי לשים לב גם כי ההטלות הן תמיד העקתות פתוחות. כלומר, הטלה של כל קבוצה פתוחה לכל תת מרחב היא פתוחה. ההעתקות, לא חייבות להיות סגורות - ניתן לקחת כדוגמא נגדויתנגדית פשוטה את ההטלה של הגרףגרף של של הפונקציהפונקציה ההפכית: <math> \ \{(x,\frac{1}{x})|x\ne 0 \}\subset \mathbb{R}^2</math> . הגרף סגור ב <math>\mathbb{R}^2</math> (קל לראות כי המשלים שלו פתוח) אך ההטלה של גרף זה לכל אחד מהצירים הוא הישר כולו פרט לאפס, וזו כמובן אינה קבוצה סגורה.
תחת הגדרה זו של טופולוגיה, [[משפט טיכונוף]] תקף.
 
כדאי לשים לב גם כי ההטלות הן תמיד העקתות פתוחות. כלומר, הטלה של כל קבוצה פתוחה לכל תת מרחב היא פתוחה. ההעתקות, לא חייבות להיות סגורות - ניתן לקחת כדוגמא נגדוית את ההטלה של הגרף של של הפונקציה ההפכית: <math> \ \{(x,\frac{1}{x})|x\ne 0 \}</math> . ההטלה של גרף זה לכל אחד מהצירים הוא הישר כולו פרט לאפס, וזו כמובן אינה קבוצה סגורה.
 
==התכונה האוניברסלית של מרחבי מכפלה==
920

עריכות