בעיית בזל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) |
MathKnight (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 28:
</math>
ועל ידי הכפלת שני האגפים ב −π<sup>2</sup> נקבל את הדרוש.
== פתרון באמצעות אנליזה הרמונית ==
את הבעייה אפשר לפתור כמקרה פרטי של '''[[טור פורייה]]''': פיתוח פונקציה מחזורית בקטע לטור של [[סינוס|סינוסים]] ו[[קוסינוס|קוסינוסים]].
תהי <math>\ f </math> פונקציית הזהות <math>\ f(x)=x</math> בקטע <math>\ [-\pi,\pi]</math>. כדי ש[[טור פורייה]] שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זו הפונקציה איננה [[רציפה]] ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.
נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של ה[[קוסינוס|קוסינוסים]] נופלים ורק ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוסים]] נשארים (זאת מאחר והסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).
לכן,
:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0</math>
:<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)dx = 0</math>
כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:
:<math> b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =</math>
:<math>=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx) dx= \frac{2}{\pi}\left(
\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi}
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}</math>
בסך הכל, טור פורייה של x הוא
:<math>f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) =</math>
:<math>=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)</math>
כעת נשתמש ב[[זהות פרסבל]]
:<math>\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx</math>.
כדי לקבל ש
: <math>\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{4}{n^2} } = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi x^2 dx = \frac{1}{\pi} \frac{\pi^3}{3} </math>
נחלק ב-2 את הביטוי ונצמצם את [[פאי]] באגף הימני ונקבל
: <math>\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{n^2} } = \frac{\pi^2}{6}</math>
כמבוקש.
[[en:Basel problem]]
| |||