בעיית בזל – הבדלי גרסאות

'''בעיית בזל''' היא בעיה מפורסמת ב[[תורת המספרים]], שהוצגה לראשונה בשנת [[1644]], ונפתרה על ידי [[לאונרד אוילר]] בשנת [[1735]]. מכיווןכיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח הנסיונותנסיונות המתמשכיםמתמשכים של המתמטיקאיםה[[מתמטיקאי]]ם המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר הביא לו תהילה מיידית, כאשר הוא היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעייה באמצעות [[פונקציית זטא ]] ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה מאוחר יותר ל[[ברנרד רימן]], אשר בעבודתו משנת [[1859]] הוא הגדיר את [[פונקציית זטא של רימן]] והוכיח את תכונותיה הבסיסיות. הבעיה נקראת על שם [[בזל]], עיר הביתעירו של אוילר כמו גם של בני משפחת [[ברנולי]], שלא הצליחו לפתור את הבעייההבעיה.

בעיית בזל היא מציאת שיטה לחישוב הסכוםסכום [[טור אינסופי|הטור האינסופי]] של הערכים ההופכייםה[[מספר הופכי|הופכי]]ים של [[ריבוע (חזקה)|ריבועי]] המספריםה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כלומר: ? = <math>\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2</math>. [[סכום טור]] זה שווה בקירוב ל- 1.644934 . בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של טורסכום זההטור, כלומר ל[[הוכחה]] שסכוםלגודלו זהשל הואסכום נכוןזה. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא <math>\,\frac{\pi^2}{6}</math> ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על מניפולציותשיטות שלא נראו עד אז.

פתרונו של אוילר לבעייה הוא לגמרי מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעייה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: יהי <math>f(x)=\ sin x</math> . נפתח את [[טור טיילור]] לפונקציה sin x ונקבל:

את הבעייה אפשר לפתור כמקרה פרטי של '''[[טור פורייה]]''': פיתוח [[פונקציה מחזורית]] בקטע לטור של [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוסים]] ו[[קוסינוס|קוסינוסים]]ים.

תהי <math>\ f </math> פונקציית הזהות <math>\ f(x)=x</math> בקטע <math>\ [-\pi,\pi]</math>. כדי ש[[טור פורייה]] שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זוזה הפונקציה איננה [[רציפה]] ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.

נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של ה[[קוסינוס|קוסינוסים]]הקוסינוסים נופלים ורק ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוסים]]הסינוסים נשארים (זאת מאחר והסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).