פתיחת התפריט הראשי

שינויים

נוספו 17 בתים ,  לפני 12 שנים
מ
קישורים
'''בעיית בזל''' היא בעיה מפורסמת ב[[תורת המספרים]], שהוצגה לראשונה בשנת [[1644]], ונפתרה על ידי [[לאונרד אוילר]] בשנת [[1735]]. מכיווןכיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח הנסיונותנסיונות המתמשכיםמתמשכים של המתמטיקאיםה[[מתמטיקאי]]ם המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר הביא לו תהילה מיידית, כאשר הוא היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעייה באמצעות [[פונקציית זטא ]] ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה מאוחר יותר ל[[ברנרד רימן]], אשר בעבודתו משנת [[1859]] הוא הגדיר את [[פונקציית זטא של רימן]] והוכיח את תכונותיה הבסיסיות. הבעיה נקראת על שם [[בזל]], עיר הביתעירו של אוילר כמו גם של בני משפחת [[ברנולי]], שלא הצליחו לפתור את הבעייההבעיה.
 
בעיית בזל היא מציאת שיטה לחישוב הסכוםסכום [[טור אינסופי|הטור האינסופי]] של הערכים ההופכייםה[[מספר הופכי|הופכי]]ים של [[ריבוע (חזקה)|ריבועי]] המספריםה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כלומר: ? = <math>\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2</math>. [[סכום טור]] זה שווה בקירוב ל- 1.644934 . בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של טורסכום זההטור, כלומר ל[[הוכחה]] שסכוםלגודלו זהשל הואסכום נכוןזה. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא <math>\,\frac{\pi^2}{6}</math> ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על מניפולציותשיטות שלא נראו עד אז.
 
== פתרונו של אוילר ==
פתרונו של אוילר לבעייה הוא לגמרי מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעייה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: יהי <math>f(x)=\ sin x</math> . נפתח את [[טור טיילור]] לפונקציה sin x ונקבל:
:<math>\,\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\dots </math>
נחלק ב-x ונקבל:
== פתרון באמצעות אנליזה הרמונית ==
 
את הבעייה אפשר לפתור כמקרה פרטי של '''[[טור פורייה]]''': פיתוח [[פונקציה מחזורית]] בקטע לטור של [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוסים]] ו[[קוסינוס|קוסינוסים]]ים.
 
תהי <math>\ f </math> פונקציית הזהות <math>\ f(x)=x</math> בקטע <math>\ [-\pi,\pi]</math>. כדי ש[[טור פורייה]] שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זוזה הפונקציה איננה [[רציפה]] ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.
 
נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של ה[[קוסינוס|קוסינוסים]]הקוסינוסים נופלים ורק ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוסים]]הסינוסים נשארים (זאת מאחר והסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).
 
לכן,