פתיחת התפריט הראשי

שינויים

הוסרו 7 בתים ,  לפני 12 שנים
מ
זוטות
'''בעיית בזל''' היא בעיה מפורסמת ב[[תורת המספרים]], שהוצגה לראשונה בשנת [[1644]], ונפתרה על ידי [[לאונרד אוילר]] בשנת [[1735]]. כיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח נסיונות מתמשכים של ה[[מתמטיקאי]]ם המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר, כאשר היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעייה באמצעות [[פונקציית זטא]] ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה ל[[ברנרד רימן]], אשר בעבודתו משנת [[1859]] הגדיר את [[פונקציית זטא של רימן]] והוכיח את תכונותיה הבסיסיות. הבעיה נקראת על שם [[בזל]], עירו של אוילר כמו גם של בני משפחת [[ברנולי]], שלא הצליחו לפתור את הבעיה.
 
בעיית בזל היא מציאת שיטה לחישוב סכום [[טור אינסופי|הטור האינסופי]] של הערכים ה[[מספר הופכי|הופכי]]ים של [[ריבוע (חזקה)|ריבועי]] ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כלומר: ? = <math>\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2</math>. סכום טור זה שווה בקירוב ל- 1.644934 . בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של סכום הטור, כלומר ל[[הוכחה]] לגודלו של סכום זה. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא <math>\,\frac{\pi^2}{6}</math> ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על שיטות שלא נראו עד אז.
 
== פתרונו של אוילר ==
פתרונו של אוילר לבעייהלבעיה הוא מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעייההבעיה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: יהי <math>f(x)=\ sin x</math> . נפתח את [[טור טיילור]] לפונקציהשל הפונקציה <math>\ \sin x</math> ונקבל:
:<math>\,\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\dots </math>
נחלק ב-x ונקבל:
= \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.
</math>
כעת, אם נכפול בצורה פורמלית ביטוי זה, ונאסוף את המקדמים של <math>\,x^2</math>, נקבל כי המקדם של <math>\,x^2</math> ב-<math>\,\sin x / x</math> הוא
:<math>
-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =
== פתרון באמצעות אנליזה הרמונית ==
 
את הבעייההבעיה אפשר לפתור כמקרה פרטי של [[טור פורייה]]: פיתוח [[פונקציה מחזורית]] בקטע לטור של [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוסים]] ו[[קוסינוס]]ים.
 
תהי <math>\ f </math> פונקציית הזהות <math>\ f(x)=x</math> בקטע <math>\ [-\pi,\pi]</math>. כדי ש[[טור פורייה]] שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זה הפונקציה איננה [[רציפה]] ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.
 
נחשב את מקדמי פוריהפורייה שלה. ומאחרמאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים נופליםמתאפסים ורק מקדמי הסינוסים נשארים (זאת מאחר והסינוסשהסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).
 
לכן,