משפט קנטור לרציפות במידה שווה – הבדלי גרסאות

 

אפשר להכליל את המשפט עבור קבוצה [[קומפקטיות|קומפקטית]] כלשהי במרחב <math>\ \mathbb{R}^n</math>: פונקציה סקלרית שרציפה על קבוצה קומפקטית היא רציפה בה במידה שווה.

 

 

==הוכחה==

 

תהא כעת <math>\ f(x)</math> פונקציה רציפה בקטע הסגור <math>\ [a,b]</math>. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים <math>\ \varepsilon_0</math> כך שעבור כל <math>\ n\isin\mathbb{N}</math> קיימות שתי נקודות <math>\ x_n,y_n\isin[a,b]</math> כך שמתקיים <math>\ |x_n-y_n|<\frac{1}{n}</math>, אבל <math>\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0</math>.