משוואה דיפרנציאלית ליניארית – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
מ (רובוט מוסיף: ar, cs, fr, it, ja, pt, ru)
מאין תקציר עריכה
כאשר את המעבר השני אפשר להוכיח באינדוקציה. קל לראות שהאיטרציות מתכנסות לפונקציה <math>\ y = e^{ax} b</math>, שפותרת את המשוואה. בצורה דומה, ניתן לראות שהפתרון הכללי עבור תנאי התחלה <math>\ y(\tau ) = b</math> הוא:
:<math>y = e^{(t-\tau ) a} \cdot b</math>
למעשה, אותה שיטה בדיוק יכולה לפתור גם את המשוואה הדיפרנציאלית <math>\ y' = A y</math> כאשר A [[מטריצה ריבועית]]. על ידי האיטרציות של פיקאר מתקבל, כמו קודם, שהפתרון למשוואה עם תנאי ההתחלה <math>\ y(\tau ) = b</math> הוא הגבול:
:<math>\ y = \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^n \frac{(x - \tau )^n A^n}{n!} \cdot b = \sum_{k=0}^\infty \frac{ \left( (x - \tau)A \right) ^n}{n!} \cdot b = \ e^{(x - \tau ) A} \cdot b </math>
האיבר האחרון בשיוויונות הוא [[אקספוננט#אקספוננט מטריציאלי|האקספוננט המטריציאלי]] של המטריצה <math>\ (x - \tau ) A</math> מוכפל בוקטור b.