סדר טוב – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Loveless (שיחה | תרומות)
מ רובוט מוסיף: ko:정렬순서
עריכה
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''סדר טוב''' על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הוא [[סדר מלא]] שבו לכל תת קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. לדוגמה,בקבוצה [[מספרסדורה טבעי|המספריםהיטב, הטבעיים]]לכל עם הסדר הרגילאיבר סדורים(פרט בסדרלאיבר טובהמקסימלי, כיאם בכליש קבוצהכזה) שליש טבעייםאיבר שניקחעוקב יהיהמיידי. איברבשל שקטןתכונה מכלזו שארניתן האיברים.להשתמש לעומתבטכניקה זאת,של [[מספראינדוקציה שלם|המספרים השלמיםטרנספיניטית]] אינםעל סדוריםמנת בסדרלהוכיח טוב,שכל כיאברי בקבוצתהקבוצה כלהסדורה המספריםהיטב השלמיםהם איןבעלי איברתכונה שקטןכלשהי. מכלדבר האיבריםזה -מהווה לכל[[הכללה מספר(מתמטיקה)|הכללה]] שלםשל ניתןמושג למצוא[[אינדוקציה מספרמתמטית|האינדוקציה שלםהמתמטית]] שקטןהרגילה ממנושמוגדרת רק על המספרים הטבעיים.
 
לדוגמה, הסדר הרגיל של [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] הוא סדר טוב, כי בכל קבוצה של טבעיים יש איבר קטן ביותר. לעומת זאת, הסדר של [[מספר שלם|המספרים השלמים]] אינו סדר טוב - לקבוצת כל השלמים אין איבר ראשון, משום שלכל מספר שלם ניתן למצוא מספר שלם קטן יותר.
'''[[משפט הסדר הטוב]]''' קובע כי כל קבוצה ניתנת לסידור באמצעות סדר טוב. משפט זה שקול ל[[אקסיומת הבחירה]], והוא נחשב בעייתי, בזמן שאקסיומת הבחירה נחשבת אינטואיטיבית יחסית - למשל, קבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] ניתנת לסידור טוב על פי משפט זה, אך לא ניתן להדגים בפועל סדר טוב שכזה.
 
הטענה "כל קבוצה ניתן לסדר באמצעות סדר טוב", הקרויה [[משפט הסדר הטוב]], שקולה ל[[אקסיומת הבחירה]]. עם זאת, אקסיומת הבחירה נחשבת סבירה מבחינה אינטואיטיבית, משפט הסדר הטוב מציב קשיים לא מבוטלים. למשל, קבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] אמורה להיות ניתנת לסידור טוב, אך לא ניתן להדגים בפועל סדר טוב שכזה. (הסדר הרגיל על המספרים הממשיים בוודאי אינו טוב: בקבוצת המספרים הגדולים מאפס אין איבר מינימלי).
 
בקבוצה סדורה היטב, לכל איבר (פרט לאיבר המקסימלי, אם קיים) יש איבר עוקב מיידי, אך לא בהכרח לכל איבר יש איבר שקודם לו מיידית. בשל תכונה זו ניתן להשתמש בטכניקה של [[אינדוקציה טרנספיניטית]] על מנת להוכיח שכל אברי הקבוצה הסדורה היטב הם בעלי תכונה כלשהי. דבר זה מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של מושג [[אינדוקציה מתמטית|האינדוקציה המתמטית]] הרגילה שמוגדרת רק על המספרים הטבעיים.
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
{{נ}}