אקסיומות המנייה – הבדלי גרסאות

קישור
(בוט - מחליף 'מסויים' ב'מסוים')
(קישור)
מרחב טופולוגי מקיים את '''אקסיומת המנייה הראשונה''' אם לכל נקודה שלו יש בסיס מקומי בן מנייה. תכונה זו, הנקראת גם "תכונת <math>\ C_{I}</math>", מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס <math>\ 1/n</math> סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), ולכן אפשר לראות בה תנאי ל"התנהגות מטרית" באופן מקומי. קיומו של בסיס בן מניה מאפשר לסדר את אברי הבסיס, ולבנות סדרות בעלות תכונות שונות באינדוקציה.
 
המרחב מקיים את '''אקסיומת המנייה השנייה''' אם יש לו [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]]. תכונה זו מסמנים גם ב-<math>\ C_{II}</math>.
 
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא בפרט <math>\ C_{I}</math> (כדי לקבל בסיס מקומי סביב <math>\,p</math>, מספיק לבחור את אותם אברים של הבסיס המכילים את <math>\,p</math>). מרחב מטרי [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]] הוא <math>\ C_{II}</math>.
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההיפך נכון, דהיינו, כל מרחב ספרבילי הוא <math>\ C_{II}</math>.
 
נזכיר שמרחב [[קומפקטיות|קומפקטי]] הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: [[תכונת לינדלוף]] קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה '''קומפקטיות מנייתית''' היא הדרישה שלכל כיסוי בן- מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, במרחב קומפקטי לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזה נקרא לפעמים '''קומפקטיות סדרתית'''.
 
מרחב <math>\ C_{I}</math> הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית.
23,954

עריכות